10 трудных задач со студенческих олимпиад

[Black_Queen152]

BapuK в сообщении #286017 писал(а):

Black_Queen152 в сообщении #284878 писал(а):

Цитата:

$\int \frac {cos^{n-1} x } {sin^{n+1} x} dx=\frac{sin(x)*cos^{n-2}(x)}{sin^{n+1}(x)}-\int \frac{(n-2)*cos^{n-3}(x)}{sin^{n-1}(x)}dx+\int \frac{(n+1)*cos^{n-1}(x)}{sin^{n+1}(x)}dx$

Ой! Если честно, не понимаю, откуда это взялось и для чего нужно! Нужно ведь добиться того, чтобы интегралов не осталось, а тут они наоборот процветают Мне бы как-нибудь попроще объяснить попробуйте

взялись они из интегрирования по частям, и если перенести последний интеграл в левую часть равенства, то что у синуса, что у косинуса понизится степень на 2, после некоторого количества шагов, интегралы должны будут исчезнуть
Надеюсь, правильно передал мысль

Хм... получается, в формуле интегрирования по частям:
$\int u dv = uv - \int v du$ у нас
$u = \frac 1 {sin^{n+1}}$,
$v = sinx cos^{n-2}x$;

$\int \frac {cos^{n-1} x } {sin^{n+1} x} dx = \int \frac {-sin^2xcos^{n-3}x(n-2) + sin^2xcos^{n-3}x(n-2) + cos^{n-1}x} {sin^{n+1} x} dx = $
$= \int \frac {sin^2x(n-2)cos^{n-3}x + cos^{n-1}x} {sin^{n+1} x} dx + \int \frac {-sin^2x cos^{n-3}x(n-2)} {sin^{n+1} x} dx$. (0)
Обозначим $\int \frac {-sin^2x cos^{n-3}x(n-2)} {sin^{n+1} x} dx$ как A.

$(f(x)*g(x))` = f`(x)g(x) + g`(x)f(x).$
Если $f(x) = sinx, g(x) = cos^{n-2}x$, то производная их произведения равна
$cosx*cos^{n-2}x + sinx*(cos^{n-2}x)`.$ (1)

Производная сложной функции $cos^{n-2}x$ есть
$sinx*(n - 2)cos^{n-3}x$,
(1) = $cos^{n-1}x + sin^2x*(n - 2)cos^{n-3}x.$

Последнее выражение и есть dv. Ффух... то есть интеграл $\int \frac {sin^2x(n-2)cos^{n-3}x + cos^{n-1}x} {sin^{n+1} x} dx$ из (0) можно проинтегрировать по частям и разложить в сумму:
$uv - \int v du$, т.е.
$uv = \frac 1 {sin^{n+1}}*sinx cos^{n-2}x$ - обозначим это B.
(т.к. производная сложной функции $\frac 1 {sin^{n+1}}$ равна $\frac {(n + 1)sin^{n}x cos x} {sin^{2n+2}x}$)
$\int v du = \int \frac {(n + 1)cos^{n-1}x} {sin^{n+1}x} dx$. Это C.

В итоге и получается
$\int \frac {cos^{n-1} x } {sin^{n+1} x} dx= B + A + C = \frac{sin(x)*cos^{n-2}(x)}{sin^{n+1}(x)}-\int \frac{(n-2)*cos^{n-3}(x)}{sin^{n-1}(x)}dx+\int \frac{(n+1)*cos^{n-1}(x)}{sin^{n+1}(x)}dx$...


Надеюсь, правильно? Только у С со знаком какие-то неполадки, но сил уже нет их понять

[Сергей Маркелов]

> 9. "Таня и Петя играют на лекции по алгебре в следующую игру. Таня выписывает многочлен произвольной степени от одной переменной с неотрицательными целыми коэффициентами, не показывая его Пете. Петя может задавать Тане вопрос о том, какое значение у многочлена при данном целом значении переменной. За какое минимальное число вопросов Петя может узнать все коэффициенты многочлена?"


Ответ: 2. Достаточно двух вопросов, вне зависимости от степени многочлена.
Решение. Пусть мы угадываем многочлен $f(x)$. Зададим следующие вопросы:

Вопрос1: $x=1$.
Ответ1: какое-то натуральное число $f(1)$. Обозначим $n={[\log_2{f(1)}]+1}$ (под $[x]$ обозначена целая часть $x$).

Вопрос2: $x=2^n$.
Ответ2: какое-то натуральное число $O_2$. Тогда для коэффициентов многочлена $f(x)$ верна следующая формула (под $\{x\}$ обозначена дробная часть числа $x$):

$$\text{коэффициент } f(x) \text{ при }x^k = 2^n\cdot\{\frac{O_2}{2^{kn+n}}\}-\{\frac{O_2}{2^{kn}}\}$$

Пример: загадано $f(x)=3x^4+2x^2+x+111$.

Вопрос1: $1$
Ответ1: $f(1)=117$, отсюда $n={[\log_2{117}]+1}=7$.


Вопрос2: $128=2^7$.
Ответ2: $805339375 = f(128)$

Теперь находим коэффициенты исходного многочлена:

Пусть $k=0$, ищем коэффициент при $x^0$, т.е. свободный член:

$2^7\cdot\{\frac{805339375}{2^7}\}-\{\frac{805339375}{2^{0}}\}=111$


Пусть $k=1$, ищем коэффициент при $x^1$, т.е. при $x$:

$2^7\cdot\{\frac{805339375}{2^{14}}\}-\{\frac{805339375}{2^{7}}\}=1$



Пусть $k=2$, ищем коэффициент при $x^2$:

$2^7\cdot\{\frac{805339375}{2^{21}}\}-\{\frac{805339375}{2^{14}}\}=2$



Пусть $k=3$, ищем коэффициент при $x^3$:

$2^7\cdot\{\frac{805339375}{2^{28}}\}-\{\frac{805339375}{2^{21}}\}=0$


Пусть $k=4$, ищем коэффициент при $x^4$:

$2^7\cdot\{\frac{805339375}{2^{35}}\}-\{\frac{805339375}{2^{28}}\}=3$

При $k>4$ формула даст $0$, т.к. знаменатели слишком большие. Это означает, что более старших членов, чем $x^4$, в многочлене нет.

Для тех, кому это кажется невозможным фокусом, привожу те же расчёты на языке Maple. Попробуйте изменять многочлен и убедиться, что формула верно угадывает коэффициенты (trunc и frac в Maple означают целую и дробную часть числа соответственно).

f:=x->3*x^4+2*x^2+x+111;
n:=trunc(log[2](f(1)))+1;
f(2^n);
coef:=k->2^n*frac(f(2^n)/2^((k+1)*n))-frac(f(2^n)/2^(k*n));
coef(0);coef(1);coef(2);coef(3);coef(4);




Попробуйте-ка доказать, что это решение верное! Даже видя формулы, это не очень-то просто. Дам две подсказки:

1. Важно, что коэффициенты $f(x)$ — неотрицательные целые числа (а не любые действительные).

2. Сложная формула для $n={[\log_2{f(1)}]+1}$ может быть переформулирована так: $n$ есть число знаков в двоичной записи числа $f(1)$.

(если кто-то прочитает это решение и поймёт его, или убедится в верности формулы, напишите, пожалуйста — я много думал над решением этой задачи, было бы приятно услышать, что сей текст кто-то прочитал и/или понял)

Хорошая задача, спасибо!
Сергей Маркелов

[General]

Прочитал - выглядит круто! Теперь думаю, хочу разобраться