интегрирование подстановкой

[vonkurt]

Интеграл.(Если подстановка правильная).

$$\int {\dfrac {\sin x\cdot \cos x}{(3+\cos x)^2}\,dx$$

$t=\cos x,dt=-\sin x\,dx$

$$-\int {\dfrac {t}{(3+t)^2}\,dt$$

Дальше меня сомнения обуяли.Подскажите,пожалуйста, как преобразовывать дальше.

[meduza]

$t\equiv (3+t)-3$

[vonkurt]

Так?

$$-\int {\left(\dfrac{1}{3+t}-\dfrac{3}{(3+t)^2\right) }\,dt $$

[meduza]

Да. Это табличные интегралы, если ввести под дифференциал $3+t$.

[vonkurt]

Аааа,Спасибо!Я ,кажется,понял как дальше.Надеюсь,что здесь кто-нибудь через 1-2часа будет

[vonkurt]

Вроде так:

$$-\int{\dfrac{1}{3+t}\,dt+3\int{\dfrac{1}{(3+t)^2}\,dt$$

$v=3+t, dv=dt$

$$-\int{\dfrac{1}{v}\,dv+3\int\dfrac{1}{v^2}\,dv$$

$$-\int{\dfrac{1}{v}\,dv=-\ln|v|$$

$$3\int{\dfrac{1}{v^2}=3\cdot \dfrac{1}{-v}=-\dfrac{1}{v}$$

Подставим

$$-\ln(3+t)-\dfrac{1}{3+t}$$

$$\int{\dfrac{\sin x\cdot\cos x}{(3+\cos x)^2}=\ln(3+\cos x)-\dfrac{1}{3+\cos x}$$

Надеюсь,что правильно.
Проверьте,пожалуйста.

[meduza]

В третьей снизу формуле потеряли тройку, во второй -- рано отбрасывать модуль (а вот далее уже можно: $|3+\cos x|=(3+\cos x)$), в последней -- потеряли минус. Ну и константу интегрирования нельзя забывать.

(Оффтоп)

Зря вы выписываете всякие $v=3+t$ и т. д. -- так вы только больше запутываетесь. Если под инетгралом везде стоит $(t+\mathrm{const})$ -- можно молча эту константу игнорировать, т. к. $d(t+\mathrm{const})=dt$. Напр. $\int \frac{dx}{x+a}=\ln|x+a|+C$.

[vonkurt]

АААА!Точно!Спасибо!meduza.
Если разобраться---легко кажется. Сначала подойти боялся