Теор. вероятности Купе

[PAV]

nbyte в сообщении #290070 писал(а):

то в каждом купе есть 2 варинта рассадки.

Не понял, почему 2? Ведь 4 места, т.е. надо умножить на 4 трижды.

А в Вашем случае действительно будет множитель $4^7$. Раз 7 человек и для каждого рассматривается 4 возможности, и их нужно рассадить всех последовательно, то возможности перемножаются. В комбинаторике это называется правило произведения.

[nbyte]

Цитата:

Не понял, почему 2? Ведь 4 места, т.е. надо умножить на 4 трижды.

Запутался, но сам принцип решения я вроде-бы уловил, спасибо Вам.

Если можете, подтолкните пожалуйста ещё с решением второй задачи

Цитата:

В первом зрительном ряду есть N мест, случайным образом садятся n зрителей. Какая вероятность, что никакие два зрителя не седят рядом? N = 10, n = 4

Пробую так решить
Количество варинтов рассадить будет $\[A_{10}^{4}\]$.
Хотя прошлая задача похожая, но тут я думаю по другому как-то нужно подойти к решению.
Пока-что непришло в голову как посчитать, чтобы между двумя было пустое место.

[ewert]

Порядок размещения лучше как раз не учитывать. Тогда надо найти количество способов выбрать $n$ мест из $N$ так, чтобы никакие два не были соседними.

Добавьте по одному дополнительному месту слева и справа. Тогда задача сведётся к следующему: сколькими способами можно разбить число $(N+2-n)$ на $(n+1)$ ненулевое слагаемое. А эта задача сводится обратно к сочетаниям -- к выбору $n$ перегородок внутри цепочки из $(N+2-n)$ шариков.

(Наверное, то же самое можно сделать и напрямую, только чего-то сходу не приходит в голову, как.)

[PAV]

В данном случае я бы рекомендовал считать людей неразличимыми. Тогда общее число исходов будет $C_{10}^4$, т.е. мы просто помечаем из 10 мест 4 без учета порядка.

Представьте себе, что в ряд стоят 7 чашек и есть 4 неразличимых шарика. Разложите их по чашкам произвольным образом (но так, чтобы в одну чашку не попадало более одного шарика). После этого возьмите еще 3 чашки и поставьте по одной после каждой чашки, в которые положен шарик, кроме последней. Теперь мы имеем шарики не рядом, даже если изначально они были рядом. Соответствие между исходной раскладкой и финальной взаимно-однозначное, так что их количества совпадают. Вот это все и осмыслите.

[nbyte]

Мммм незнаю точно.
Попробую так рассуждать
Пусть число исходов $\[C_{10}^{4}\]$
Тогда, 4 шарика мы можем разложить по 7 чашкам $\[C_{7}^{3}\]$ способами.
А как подсчитать ещё с тремя чашками, то сомневаюсь. Думаю, что надо ещё умножить на $3!$.
Тогда решение будет выглядеть так
$\[\frac{C_{7}^{3}*3!}{C_{10}^{4}}\]$

[PAV]

Ничего не надо умножать. Добавление трех чашек происходит однозначно и не меняет числа вариантов.

Смотрите. Допустим, мы разложили шарики так: 1101100
(1 - занятая чашка, 0 - пустая).

Добавляем три пустых чашки между всеми занятыми:
1010010100

Получили рассадку зрителей по местам. Каждая последовательность 7 чашек даст однозначно некоторую допустимую рассадку. И обратно, любая допустимая рассадка будет получена из какой-то определенной последовательности. Значит, количество последовательностей и рассадок совпадают.

[nbyte]

Хмм интересная задача. В учебнике таких решений мне не случалось видеть.
Проверьте меня пожалуйста, правильно-ли я сейчас понял
Решение будет
$\[\frac{C_{7}^{3}}{C_{10}^{4}}\]$

[ewert]

nbyte в сообщении #290137 писал(а):

Решение будет
$\[\frac{C_{7}^{3}}{C_{10}^{4}}\]$

Только не $C_7^3$, а $C_7^4$ (их совпадение -- это случайность).

[PAV]

ewert в сообщении #290139 писал(а):

Только не $C_7^3$, а $C_7^4$ (их совпадение -- это случайность).

Да это все равно. Можно из 7 кружек выбирать те, в которые будут положены шарики, а можно - наоборот, пустые. Важно только, чтобы студент понимал, что именно он делает и почему считает именно так.

[nbyte]

Решение то достаточно интересное.

Мне осталось решить ещё две задачи, с первой у меня решение вроде-бы получилось, а со второй не могу придумать решение. Буду рад если вы проверите решение и подскажите как с последней задачей справиться.

Первая задача

Цитата:

Отправляясь в поход, малыш в n своих карманов положил по одной конфете. Когда он хочет подкрепится, он проверяет карманы и найдя конфету, её съедает.
Какая вероятность, что первые k конфеты он найдёт в первом кармане (с которого он начинает проверять каждый раз случайно)?
k = 3, n = 8

Пробую решить так
Вероятность того, что
в первом наугад кармане первую конфету $8/3$
в первом наугад кармане вторую конфету $8/2$
в первом наугад кармане вторую конфету $8/1$
тогда правилу умножения решением будет $\[\frac{3}{8}*\frac{2}{8}*\frac{1}{8}\]$

Вторая задача

Цитата:

Пивная лотерея: если под пивной пробкой написано "пиво" - выигрывается бутылка пива, если "бокал" - пивной бакал.
На полке есть N бутылок, A из них с пробками "пиво", B - "бокал".
Какая вероятность, что из n наугад взятых бутылок, будут выиграна одна бутылка пива и один бокал?
N = 17, A = 4, B = 7, n = 6

Всего можно выбрать $\[C_{17}^{6}\]$
А с числителем, у меня трудность вызывает, то что именно по одной бутылке и при выборе число бутылок уменьшается.

[ewert]

2) Вам нужен набор, содержащий ровно одно пыво и ровно одну кружку. Разыграйте сначала выбор пыва, потом -- выбор кружки, а потом -- выбор пустых оставшихся. И всё, естественно, перемножьте.

1) Условие выглядит вполне бессмысленным. Если в кажном кармане по одной, то как можно найти несколько в первом кармане?...

[nbyte]

Цитата:

1) Условие выглядит вполне бессмысленным. Если в кажном кармане по одной, то как можно найти несколько в первом кармане?...

В этой задаче, смысле под первым понимается тот карман который он наугад проверяет первым.

[ewert]

Всё равно бессмысленно. Попробуйте переформулировать.

[nbyte]

Цитата:

Отправляясь в поход, малыш в n своих карманов положил по одной конфете.
Когда он хочет подкрепится, он проверяет карманы и найдя конфету, её съедает.
Какая вероятность, что первые k конфеты он найдёт с первого раза?
k = 3, n = 8

Честно говоря, мне тоже кажется условие запутанным.

То есть, ещё другими словами. Он может при первом попавшимся кармане не обнаружить конфеты, тогда он лезет во второй карман.

[nbyte]

Цитата:

2) Вам нужен набор, содержащий ровно одно пыво и ровно одну кружку. Разыграйте сначала выбор пыва, потом -- выбор кружки, а потом -- выбор пустых оставшихся. И всё, естественно, перемножьте.

Можно немного поподробней.
Я всё ещё не могу придумать решение.
У меня трудность вызывает, что когда мы берём то список уменьшается.