элементарная математика

[AKM]

Ну ладно, раз уж... Только МТФ как-то не фигурировала.
Он написал, что $a^3-a$ делится на 6. Мне удалось доказать это и про число $b$, представив $b^3-b$ как произведение трёх последовательных чисел. Доказать про $c$ не успеваю --- на работу пора бежать.

[maxmatem]

ну может кто идею подкинет почему $-3(a+b)(b+c)(c+a)$ делится на 6 если $(a+b+c)$ делится на 6?

[AKM]

maxmatem в сообщении #289936 писал(а):

ну может кто идею подкинет почему $-3(a+b)(b+c)(c+a)$ делится на 6 если $(a+b+c)$ делится на 6?

$-3(a+b)(b+c)(c+a)$ делится на 6 потому, что $(a+b)(b+c)(c+a)$ делится на 2 (и независимо от свойств суммы $(a+b+c)$). Т.е. потому, что $(a+b)(b+c)(c+a)$ --- ВСЕГДА чётное число, при любых $a,b,c$.

Чётное, умноженное на 3, очевидно, делится на 6.

Вы согласны? Вам тоже очевидно?

Теперь --- почему же $(a+b)(b+c)(c+a)$ делится на 2? Почему оно непременно чётное???
Вы, подозреваю, легко это выясните, попытавшись подобрать контрпример, т.е. такие числа $a,b,c$, чтобы это не выполнялось, т.е. чтобы $(a+b)(b+c)(c+a)$ сделать нечётным.

Вот, скажем, $a=3$, $b=7$, про $c$ ничего не знаем. $(a+b)(b+c)(c+a)$ делится на 2?

[maxmatem]

да делится!ну если я не смогу подобрать контр пример что оно нечётно это же не может являться док-вом того что оно чётно?

[Legioner93]

А дано, что a,b,c - целые числа?

[AKM]

maxmatem в сообщении #289978 писал(а):

ну если я не смогу подобрать контр пример что оно нечётно это же не может являться док-вом того что оно чётно?

Да, Вы правы, доказательством это не будет.
Просто я предполагал, что Вы в процессе подбора допрёте до доказательства.
Вы, например, увидите, что если есть два нечётных числа, например, a и b, то одна из сумм (a+b) непременно чётная, и всё произведение чётное. Если среди $a,b,c$ всего лишь одно нечётное --- то два других чётные, и их сумма, и всё произведение непременно чётные. Ну, а если все три чётные --- то это просто полная халява.
А главное то, что эти рассуждения составляют вполне строгое доказательство.

Ну и заметим, --- Вы ленивец, или некто в этом роде. Ибо совет я Вам тогда дал вполне дельный, а Вы, не попробовав, фрондировать начали. Но, поскольку 24 часа истекли...

(Да, Legioner93, числа целые, это как бы не обсуждается).

[Sonic86]

$a+b=-c, a+c=-b, b+c=-a$, поэтому $3(a+b)(b+c)(c+a) = ...$ и потом рассуждайте все-таки почему оно четное.