ЕГЭ С4, геометрия, треугольник

[Legioner93]

"Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что отрезок CH равен радиусу окружности, описанной около треугольника. Найдите угол ACB." Натолкните на верный путь, пожалуйста!

[Sasha2]

Еще известно, что и три медиатрисы (серединных перпендикуляра) также проходят через Вашу точку $H$.

[Kuzya]

Sasha2 в сообщении #289719 писал(а):

Еще известно, что и три медиатрисы (серединных перпендикуляра) также проходят через Вашу точку $H$.

С чего Вы так решили?

[Sasha2]

Ну возьмите точку M на стороне BC (или, если хотите предположить, на ее продолжении), в которой высота AM встречает BC. Далее проведите серединный перпендикуляр к BC . Этот перпендикуляр должен пройти через точку H. Следовательно высота AM и серединный перпендикуляр к BC совпадают, так как через точку взятую вне прямой к этой прямой можно провести только один перпендикуляр.
Дальше уже наверно сами доделаете.

[Legioner93]

Как срединный перпендикуляр, испущенный НЕ из точки M, может пройти через точку H? Ведь H лежит на высоте AH, а срединный перпендикуляр ей параллелен и не может пересекать AH одной точке.

[gris]

По мотивам Sasha2.
В равностороннем треугольнике точка $H$ действительно совпадает c центром описанной окружности $O$. Условия задачи выполнены и угол $\angle ACB=60^{\circ}$.
На самом деле в задаче не говорится о том, что точки $H$ и $O$ совпадают. Только то, что $CH=R$. И данное рассуждение, конечно, не является решением, но относится к разряду правдоподобных.(С)
Хотя ответ именно такой
По крайней мере, есть от чего отталкиваться.

[ewert]

Ясно, что если задача корректна, то ответом может быть только 60 градусов. А почему она корректна?

Возьмите для начала равносторонний треугольник АВС и опишите вокруг него окружность с центром в точке О. Теперь пошевелите вершину С вдоль окружности. Угол АСВ будет оставаться 60-градусным, а значит, будет сохраняться и угол между высотами АН и ВН (оставаясь, естественно, 120-градусным, хотя это и не важно). Но это означает, что точка Н пересечения высот скользит вдоль окружности, проходящей через точки А, В и О. А это -- ровно такая же окружность, что и исходная, только сдвинутая на величину радиуса перпендикулярно отрезку АВ. Следовательно, и отрезок СН, также перпендикулярный АВ, будет оставаться равным радиусу.

Если же исходный треугольник будет равнобедренным (с основанием АВ), но не равносторонним, то, очевидно, СН будет или меньше, или больше радиуса в любом положении.

[Legioner93]

gris, ewert, ответом является также угол в 120 градусов, который не очевиден, как 60:)

-- Ср фев 17, 2010 16:31:17 --

А можно поподробнее доказательство того, что угол C может быть равным только 60 градусам (в случае остроугольного треугольника)?

[gris]

сто двадцать? Вначале усомнился, а потом смотрю - правильно.

[Legioner93]

А если нарисовать, то видно, что СH=AC=BC=R. Я до этого тоже не сам додумался, из ответов взял. Полного решения по-прежнему нет.

[Виктор Ширшов]

Legioner93 в сообщении #289837 писал(а):

если нарисовать, то видно, что СH=AC=BC=R.

Если нарисовать и соответствующе обозначить, то получится равнобедренный треугольник, в котором СH=AH=BH=R.

[Legioner93]

Виктор Ширшов, я имел в виду случай со 120-градусным треугольником, это там СH=AC=BC=R. А в равностороннем - как вы написали.

[Legioner93]

Задача решена, всем спасибо.
Пусть $A_1$, $B_1$, $C_1$ точки, в которые падают высоты из вершин $A$,$B$,$C$ соответственно.
Обозначим угол $ACB$ за $y$, угол $ABB_1$ за $x$. Угол $AHC=90-x+y$. Угол $CAA_1=90-y$. Т.к. $CH=R$, то $\frac{R}{sin(90-y)}=\frac{AC}{sin(y-x+90)}$.
Угол $ABC=90-y+x$, отсюда $\frac{AC}{sin(90-y+x)}=2R$.
Выразив $AC$ из двух последних равенств, получаем $2sin(x-y+90)=\frac{sin(y-x+90)}{sin(90-y)}$, отсюда y=60.
Случай с тупым углом C решается аналогично.
P.S. Подскажите, как ставить градусы? Везде выше у меня градусы, естественно.

[General]

Я их ставлю как возведение в степень o
$60^o$

[ИСН]

$^\circ$.
"Круглое носим, квадратное катаем"