Устойчивость vs. Асимптотическая устойчивость

[matoni]

В учебниках по диф. уравнениям приводится примерно такое определение асимптотической устойчивости:

Цитата:

Положение равновесия $x^\ast$ системы $\dot x = f(t,x)$ с начальными условиями $x(0)=x_0$ называется асимптотически устойчивым если оно устойчиво по Ляпунову и любое решение, начинающееся в достаточно малой окрестности $x_0$, стремится к $x^\ast$ при $t\rightarrow\infty$.

При этом обычно делается оговорка, что одного стремления $x(t)\rightarrow x^\ast$ недостаточно для асимптотической устойчивости, т.к. оно не гарантирует обычной устойчивости по Ляпунову. Однако мне нигде не удалось увидеть ясного контрпримера, в котором бы имело место стремление решений к положению равновесия, но отсутствовала бы устойчивость по Ляпунову.

Конечно, можно построить семейство функций вроде $x(t)=e^{-(t-C)^2}$. Все эти функции стремятся к нулю при $t\rightarrow\infty$, но при этом выходят за пределы любой достаточно малой $\varepsilon$-трубки. Однако, если попробовать сконструировать диф. уравнение, которому эти ф-и удовлетворяют, получается $x''x-(x')^2+2x^2=0$, а у этого ур-я нулевое решение уже будет асимптотически устойчивым, т.к. общее решение имеет вид: $x(t)=C_1 e^{-(t-C_2)^2}$.

Не подскажет ли кто-нибудь хороший контрпример, в котором есть стремление решений к положению равновесия, но отсутствует устойчивость по Ляпунову? Спасибо.

// Тема перенесена из «Математика (общие вопросы)» в «Помогите решить / разобраться (М)». / GAA

[V.V.]

А что-то типа $\dot{x}=-x\sqrt{-\log x}$?

[terminator-II]

matoni в сообщении #289118 писал(а):

Положение равновесия $x^\ast$ системы $\dot x = f(t,x)$ с начальными условиями $x(0)=x_0$ называется асимптотически устойчивым если оно устойчиво по Ляпунову и любое решение, начинающееся в достаточно малой окрестности $x_0$, стремится к $x^\ast$ при $t\rightarrow\infty$.

чепуха какая-то

[matoni]

Гениально! То, что нужно.

Спасибо, V.V.!

[matoni]

V.V. в сообщении #289221 писал(а):

А что-то типа $\dot{x}=-x\sqrt{-\log x}$?

Упс, неувязочка. К сожалению, $x\equiv 0$ не является решением данного уравнения. Так что нет смысла говорить о его устойчивости.

Тут есть другое положение равновесия: $x\equiv 1$, но оно не годится.

Может подскажете, как обойти это препятствие? Спасибо.

[V.V.]

Дык, доопределим правую часть по непрерывности.

[matoni]

V.V. в сообщении #289291 писал(а):

Дык, доопределим правую часть по непрерывности.

Мысль неплохая. Хотя, вот, что пишут в учебниках:

Цитата:

Indeed, examples can be constructed in which all of the trajectories approach $\textbf{x}^0$ as $t\rightarrow\infty$, but for which $\textbf{x}^0$ is not a stable critical point [such examples are fairly complicated (see Cesari, p. 96)].

Что-то слишком просто у нас получилось.