Интегрирование. Лёгкий пример.

[Mikle1990]

$ \int e^{3x}*3^x*dx = $

думал легко решу, оказалось не так. не могу понять какую хитрость применить...
Натолкните пожалуйста на решение.

$ \int e^{3x}*3^x*dx = \frac{1}{\ln 3}\int e^{3x}*dx(3^x) = ... $

по-разному уже пробовал решать. не получается.

[BapuK]

по частям проинтегрировать, по-моему 1го раза достаточно будет

[Padawan]

Зачем по частям. Просто представить подынтегральную функцию как экспоненту от чего-то.

[Mikle1990]

Padawan в сообщении #289271 писал(а):

Зачем по частям. Просто представить подынтегральную функцию как экспоненту от чего-то.

Это как можно вот это $ e^{3x}*3^x $ , превратить только в "экспоненту от чего-то" ?

У меня не получается от $ 3^x $ избавиться(

То что по частям делать не надо - этот ты правильно заметил, т.к. это пример я взял из той части учебника, где ещё не пройдено "интегрирование по частям"

[p51x]

$3^x=e^{\ln 3^x}=...$

[AKM]

Mikle1990 в сообщении #289282 писал(а):

Это как можно вот это $ e^{3x}*3^x $ , превратить только в "экспоненту от чего-то" ?

Это так можно вот это, $ e^{3x}*3^x $, превратить только в "экспоненту от чего-то": $ e^{3x}\cdot 3^x ={e^3}^x}\cdot 3^x={(3e^3)}^x} $ (ну не совсем экспонента, но всё же показательная функция).
И не только так:

$${e^{3x}\cdot 3^x =e^{\ln(e^{3x}\cdot 3^x)}=e^{???}.$$

[Mikle1990]

$ \int e^{\ln {(3e^3)}^{x}} *\,dx = ... $

Вот этот интеграл я должен вычислить?
Я пытался, но выходит хрен знает что, совсем не то, что нужно...

Сейчас ещё подумал, запутался окончательно.

Ещё подумал. А как понять обратная ф-ция к экспоненте это $ \ ln(a)$
(вижу что вы это применяете, а сам понять не могу)

[Someone]

Mikle1990, а чему равна производная от $a^x$? Я имею в виду использование получившейся формулы при $a=3e^3$.

[Mikle1990]

Mikle1990, а чему равна производная от $a^x$?
$(a^x)' = {a^x}*\ln a$

$ a=3e^3 (a^x)' = {({3e^3})^x}*\ln (3e^3) $

Не могу проследить точную связь с самим примером(

-- Пн фев 15, 2010 18:40:42 --

$ \int e^{\ln {(3e^3)}^{x}} *\,dx = ... $

Вот этот интеграл я должен вычислить?

Вообще ппц какой-то...

[AKM]

Mikle1990 в сообщении #289302 писал(а):

Mikle1990, а чему равна производная от $a^x$?
$(a^x)' = {a^x}*\ln a$

Вывод: $\int a^x dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C$. И всё:

$$\int e^{3x} \cdot 3^x dx = \int a^x dx=\dfrac{a^x}{\ln a}{\color{blue}+C}=\ldots,\quad\text{где}\quad a=3e^3.$$

И неча там ахать-охать...

[Someone]

Mikle1990 в сообщении #289302 писал(а):

$ \int e^{\ln {(3e^3)}^{x}} *\,dx = ... $

Вот этот интеграл я должен вычислить?

Ну и зачем Вы его так изуродовали? Чем Вам не понравилось то, что было написано в первом сообщении?

Mikle1990 в сообщении #289267 писал(а):

$\int e^{3x}*3^x*dx =$

(Звёздочки только нафиг не нужны.)
Преобразуйте интеграл к виду $\int a^x\бdx$ и пишите ответ.
Кстати, какая формула для $\int a^x\бdx$ получается из формулы дифференцирования $(a^x)'=a^x\cdot\ln a$?

-- Пн фев 15, 2010 18:52:10 --

О, пока писал, тут уже и ответ появился. $+C$ только добавить надо.

[AKM]

Или так:

$$\int e^{3x}\cdot 3^x \,dx=\int e^{\ln(e^{3x}\cdot 3^x)}\,dx=\int e^{x(3+\ln3)}dx=\int e^{bx}dx=\ldots,\quad\text{где}\quad b=3+\ln3.$$

[p51x]

Mikle1990 в сообщении #289298 писал(а):

А как понять обратная ф-ция к экспоненте это $\ ln(a)$ (вижу что вы это применяете, а сам понять не могу)

Что такое по определению $\log_ab$ и чему равно основание натурального логарифма?

[Mikle1990]

AKM в сообщении #289309 писал(а):

Или так:

$$\int e^{3x}\cdot 3^x \,dx=\int e^{\ln(e^{3x}\cdot 3^x)}\,dx=\int e^{x(3+\ln3)}dx=\int e^{bx}dx=\ldots,\quad\text{где}\quad b=3+\ln3.$$

$ \int e^{bx}dx= \frac{1}{b}\int e^{bx}d(bx) = \frac{1}{b} * e^{bx} + C = \frac {e^{x(3+\ln3)}} {3+\ln3} + C = \frac {e^{3x}\cdot 3^x} {3+\ln3} + C $

Ну всё, разобрался таки наконец)) Просто забыл кое-какое свойство логарифма.

Спасибо друзья)