Реализация двумерных полиномов Эрмита для комплекных чисел!

[Trittch]

День добрый!
Для решения некой физической задачи хочу программно построить двумерные функции Эрмита-Гаусса для комплексных чисел
(Довольно подробное описание дано, например, здесь: http://www.fian.smr.ru/img_beam/Vestnik.djv)
Прежде чем сформулировать вопрос, поясню:
Для одномерного случая полиномы Эрмита можно построить, используя рекурентное соотношение
$h_0(x)=1$
$h_1(x)=2t$
$h_n_+_1(x)=2t\cdot h_n(x)-2n\cdot h_n_-_1(x)$
Для этого я циклом сначала задавал переменную $x$ в каком-то диапазоне,
затем полученный массив $x$ использовал для вычисления полиномов.
В итоге получался двумерный массив, в котором были определены значения для каждого из $n$ полиномов для каждого из $x$
Функции Э-Г для вещественных чисел можно построить, если вычислим полиномы для второй координаты $y$, и перемножим их по правилу:
$H_{nm}=e^{-x^2-y^2}\cdot h_n(\sqrt2x)\cdot h_m(\sqrt2y)$
получается четырехмерный массив, если зафиксируем $n, m$, и возведем массив в квадрат, его можно представить графически как интенсивность.
Например, при значении $n,m=3$, получим "интенсивность", показанную слева в верхнем ряду на прикрепленном рисунке, $n=5, m=4$ - изображение сверху в центре, и т.д.
Вопрос состоит в том - как получить соответсвующие им "фазы", вида $e^{i\varphi}$, (нижний ряд на рисунке)


По моим соображениям, для этого нужно задать еще одну ось, скажем, $\zeta$, так, что $x+i\zeta$ будет комплексным числом.
для них построить полиномы эрмита, и опираясь на них построить функции эрмита-Гаусса
А потом разделить на вещественные и комплексные части
Непонято, как именно строить полиномы Эрмита от комплексного числа. Задавать вместо оси $x$ плоскость $x+i\zeta$?
Тогда циклов становится слишком много, и программа ругается - что нехватает памяти.
и как потом отделять вещественную часть от мнимой?
или же можно отдельно подсчитать вещественную часть, отдельно мнимую?

[maxal]

Trittch в сообщении #289129 писал(а):

Для одномерного случая полиномы Эрмита можно построить, используя рекурентное соотношение
$h_0(x)=1$
$h_1(x)=2t$
$h_n_+_1(x)=2t\cdot h_n(x)-2n\cdot h_n_-_1(x)$
Для этого я циклом сначала задавал переменную $x$ в каком-то диапазоне,
затем полученный массив $x$ использовал для вычисления полиномов.

А зачем? Постройте полиномы в алгебраической форме (то есть по сути вычислите последовательность коэффициентов каждого многочлена). А потом подставляйте в качестве аргумента любые значения (даже комплексные) и вычисляйте значения полинома по схеме Горнера. Тогда и "строить полиномы Эрмита от комплексного числа" вам не придется (тем более, что это фраза нонсенс).

Явные выражения для полиномов Эрмита маленьких порядков приведены на MathWorld и в Википедии.

[Trittch]

все было настолько проще, что сейчас даже не понятно - как я сразу не додумался
если фаза $\phi$задается в виде $e^{i\phi}$, так естественно, что надо просто взять натуральный логарифм, чтобы ее получить...

[Trittch]

Пришло новое понимание:
поскольку функции Эрмита-Гаусса вещественные, то фаза может быть равна либо $0$, либо $\pi$, во втором случае функция просто меняет знак (так как $e^{i\pi}=-1$), что и видно на картинке.

[ИСН]

Дак это. Говорят, пси-функции для связанных состояний вообще всегда можно выбрать вещественными, ЕВПОЧЯ.