Доказать неравенство

[Руст]

Доказать, что при a,b>=1 выполняется неравенство:
$ab\le e^{a-1}+b\ln b .$

[MMyaf]

Руст писал(а):

Доказать, что при a,b>=1 выполняется неравенство:
$ab\le e^{a-1}+b \ln b .$

$b(a- \ln b) \le e^{a-1}$

$\ln(b(a- \ln b)) \le(a-1)$

$ \ln b + \ln (a-\ln b) \le (a-1)$

$\ln(a-\ln b)\le a - \ln b - 1$

$$a-\ln b \le e^{a-\ln b-1}$$

Возможны два варианта:

$$a-\ln b \le 0$$

$$a-\ln b > 0$$

.
Первый вариант:слева в неравенстве отрицательное число, справа положит.
Второй вариант:
Пусть

$$x = a-\ln b $$

, тогда неравенство примет вид

$$e \times x \le e^ x$$

, рассмотрим

$$f(x) = e^ x$$

и

$$g(x) = e \times x$$

, g(x) есть касательная к f(x), в точке (1,e).График f(x) лежит выше прямой g(x), и пересечение имеет место быть в точке (1,е).

[Руст]

Вообще то эта задача относится к преобразованию Лежандра. В частных случаях можно решить задачу и не зная эту теорию.

[Руст]

Существует ли пустое пересечение замкнутых шаров в полном метрическом пространстве?

[MMyaf]

Руст писал(а):

Вообще то эта задача относится к преобразованию Лежандра. В частных случаях можно решить задачу и не зная эту теорию.

Значит ли это, что мое док-во не верно?

[Руст]

Доказательство верное, если не обращать внимания на шероховатости, связанные взятием логарифма, а потом обсуждали возможность отрицательных значений того, от которого брали логарифм.

[Brukvalub]

Руст писал(а):

Существует ли пустое пересечение замкнутых шаров в полном метрическом пространстве?

Если Ваш вопрос следует понимать как: существует ли такое полное метрическое пространство,в котором некоторая последовательность вложенных замкнутых шаров имеет непустое пересечение, то ответ - да, и соответствующий пример имеется в книге "Б. Гелбаум, Дж.Олмстед Контрпримеры в анализе."