Из теории надёжности РЭА

[Alhimik]

РЭА - радиоэлектронная аппаратура.
В общем есть в этой барматухе такое понятие как время наработки до отказа $T_0$ - это математическое ожидание от вероятности отказа оборудования.
$T_0=\int\limits_0^{\infty} t f(t)dt$ (*) (по определению).
f(t) - плотность распределения вероятности отказа
Известно так же, что $T_0=\int\limits_0^{\infty} P(t)dt$ (**) где P(t) - вероятность безотказной работы.
Еще рассматривают Q(t) - вероятность отказа. При этом P(t)+Q(t)=1 поскольку эти вероятности образуют полную группу.
$f(t)=\frac {dQ} {dt} $
Равенство (**) доказывается путём интегрирования (*) по частям. Я получил следующее
$T_0= t P(t)|_{0}^{\infty} + \int\limits_0^{\infty} P(t)dt$ И, наконец, мой вопрос, как доказать, что предел равен нулю
$\lim\limits_{b \to \infty} b P(b) = 0$?
Тут выходит неопределенность в виде произведения бесконечно большой и бесконечно малой величин. Как быть?

[GAA]

Из условия существования ожидания ($-\int_0^{+\infty}t \frac{dP}{dt}\,dt$) следует, что $dP/dt$ убывает, при $t \to +\infty$, быстрее, чем $1/t^2$.

[Alhimik]

Спасибо. Всё, как обычно, оказалось простым.

[ewert]

GAA в сообщении #287233 писал(а):

Из условия существования ожидания ($-\int_0^{+\infty}t \frac{dP}{dt}\,dt$) следует, что $dP/dt$ убывает, при $t \to +\infty$, быстрее, чем $1/t^2$.

Не следует. Она даже вообще не обязана убывать.

Но зато из $b\cdot P(b)\not\to0$ следовало бы, что по некоторой последовательности $t_k\to+\infty$ выполнено $t_k\cdot P(t_k)>C$ с некоторым $C>0$. Поскольку $P(t)$ всё-таки стремится к нулю, можно проредить эту последовательность так, что окажется $P(t_{k+1})<{1\over2}P(t_k)$. А тогда из монотонности $P(t)$ следует, что

$$-\int\limits_0^{+\infty} t\,dP>\sum_{k=0}^{\infty}t_k(P(t_k)-P(t_{k+1}))>{1\over2}\sum_{k=0}^{\infty}t_k\,P(t_k)>{1\over2}\sum_{k=0}^{\infty}C=+\infty.$$

[GAA]

ewert, спасибо. Уже засыпая, понял, что ошибочно предположил монотонность $dP/dt$, но возвращаться на работу не было сил, а домашний компьютер отнес на работу. Прибежал на работу с утра пораньше исправлять, но Вы все уже сделали.

-- Пт 12.02.2010 08:57:06 --

Alhimik, приношу свои извинения.

[caxap]

ewert в сообщении #287269 писал(а):

$$-\int\limits_0^{+\infty} t\,dP>\sum_{k=0}^{\infty}t_k(P(t_k)-P(t_{k+1}))$$

Уважаемый ewert, не могли бы вы объянить, почему вы поставили строгое $>$? По-моему там должно быть $\geqslant$, а может даже $=$.

Я не нахожу разницы между написанным выше и очевидными равенствами:

$$\begin{gathered}\int_a^b df(x)=f(b)-f(a)\\ \sum_{x=a}^{b-1} (f(x+1)-f(x))=f(b)-f(a)\end{gathered}$$

Ткните пальцем на разницу пожалста.

[Alhimik]

Тем не менее принцип доказательста остаётся неизбежным и следует из сущестования $T_0$, т.е. не существует оборудования, которое работало бы целую вечность. Отказ все равно произойдёт в некотрый момент времени $t=T_0< \infty$. А для этого необходимым условием является постоянное уменьшение подыитегральной функции $t \frac {dP} {dt} \to 0$ при $t \to \infty$. Поскольку интеграл $\int\limits_0^{\infty} \frac 1 {t^2} dt $ расходиться, тогда естественно предположить, что $\frac {dP} {dt}$ убывает быстрее чем $\frac 1 {t^2}$. Следовательно, если скорость изменения $\frac {dP} {dt} $ больше $\frac 1 {t^2}$, то сама функция и подавно убывает быстрее чем $\frac 1 {t^2}$. Что еще нужно?
За монотонность я даже и не задумывался. Так что еще раз спасибо GAA, что направил меня по нужному пути.
Кстати, согласен с сахаром. Явно дожно быть больше или равно.

[GAA]

Alhimik в сообщении #287445 писал(а):

Тем не менее принцип доказательста остаётся неизбежным и следует из сущестования $T_0$, т.е. не существует оборудования, которое работало бы целую вечность. Отказ все равно произойдёт в некотрый момент времени $t=T_0< \infty$. А для этого необходимым условием является постоянное уменьшение подыитегральной функции $t \frac {dP} {dt} \to 0$ при $t \to \infty$.

В книге Б. Гельбаум, Дж. Олмстед «Примеры и контрпримеры в анализе», в четвертой главе (интеграл Римана) приводится пример сходящегося несобственного интеграла $\int_1^{+\infty} f(x)\,dx$, подынтегральная функция которого положительна, непрерывна и не стремится к нулю при $x \to +\infty$:
«Положим $g(n) \equiv 1$ для всякого целого $n > 1$, а на замкнутых интервалах $[n-n^{-2}, n]$ и $[n, n+n^{-2}]$ функцию $g$ определим как линейную и равную нулю в концевых нецелых точках. Наконец, в тех $x \ge 1$, где $g(x)$ еще не определена, положим $g(x) \equiv 0$. Тогда функция

$f(x) \equiv g(x) + 1/x^2$

положительная и непрерывная для $x \ge 1$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) \ne 0$, а несобственный интеграл $\int_1^{+\infty} f(x) dx$ сходится.»

(Если требовать только неотрицательность, то прибавлять $1/x^2$ не нужно.)

Alhimik в сообщении #287445 писал(а):

Поскольку интеграл $\int\limits_0^{\infty} \frac 1 {t^2} dt $ расходиться,...

Интеграл $\int_0^{+\infty} dt/t^2$ расходится, но за счет особенности в нуле, а не в бесконечности. Тогда как $\int_c^{+\infty} dt/t^2$, где $c > 0$ — сходится. Дальнейшее не буду комментировать.

Я вчера вечером устал и написал откровенный бред. И дело не в деталях. Попробуйте разобраться с тем, что написал ewert.

Хочется еще раз выразить признательность ewert’у.

PS. На книгу Гельбаума я сослался специально для вас, Alhimik, для авторитетности, а не потому, что пример построить сложно. Похожие примеры Вы можете придумать сами.

[Alhimik]

Книгу в и-нете нашел. Толковая. Много интересных примеров. Спасибо.
http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/4/book.htm

[ewert]

Alhimik в сообщении #287445 писал(а):

Отказ все равно произойдёт в некотрый момент времени $t=T_0< \infty$. А для этого необходимым условием является постоянное уменьшение подыитегральной функции $t \frac {dP} {dt} \to 0$ при $t \to \infty$.

Из в-конце-концов-отказа следует вовсе не монотонность $t\frac{dP}{dt}$, а лишь стремление к нулю $P(t)$. Понятно, что сама вероятность убывает монотонно, а вот её производная -- вовсе не обязательно. Например, $P(t)$ может быть ступенчатой, тогда $\frac{dP}{dt}$ -- это цепочка убывающих дельта-функций (на сравнении с которыми, собственно, и основано первое неравенство).

Alhimik в сообщении #287445 писал(а):

Кстати, согласен с сахаром. Явно дожно быть больше или равно.

За строгостью неравенств я аккуратно не следил, это не принципиально. Действительно, самое первое неравенство можно исхитриться сделать равенством, но -- лишь выбрав вот именно ступенчатую $P(t)$; если же $P(t)$ непрерывна, то это неравенство строгое.

[caxap]

ewert в сообщении #287542 писал(а):

За строгостью неравенств я аккуратно не следил, это не принципиально. Действительно, самое первое неравенство можно исхитриться сделать равенством, но -- лишь выбрав вот именно ступенчатую $P(t)$; если же $P(t)$ непрерывна, то это неравенство строгое.

Я правильно понял, что в

$$-\int\limits_0^{+\infty} t\,dP>\sum_{k=0}^{\infty}t_k(P(t_k)-P(t_{k+1}))$$

из-за множителя $t$ нельзя поставить равно, если $P(t)$ непрерывная? Ведь если бы не было его, то в обоих частях было $P(0)-P(\infty)$?

[ewert]

caxap в сообщении #287552 писал(а):

Я правильно понял, что в

$$-\int\limits_0^{+\infty} t\,dP>\sum_{k=0}^{\infty}t_k(P(t_k)-P(t_{k+1}))$$

из-за множителя $t$ нельзя поставить равно, если $P(t)$ непрерывная? Ведь если бы не было его, то в обоих частях было $P(0)-P(\infty)$?

Если бы да кабы.

Неравенство формально получается из-за того, что (в силу монотонного убывания $P(t)$) $\displaystyle-\int\limits_{t_{k}}^{t_{k+1}} t\,dP(t)>-t_k\int\limits_{t_{k}}^{t_{k+1}} dP(t)=t_k\big((P(t_k)-P(t_{k+1})\big)$. И первое неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда $P(t)$ на интервале $(t_k;t_{k+1})$ постоянна. (Предполагается, что функция непрерывна слева, а интегрирование ведётся по полуоткрытому промежутку $[t_k;t_{k+1})$).