Степени в конечных полях

[zabolekar]

Вот возьмём $\mathbb F_q$, где q число элементов поля. Попробуем определить $a^n$ для $a,n,m\in\mathbb F_q$ через $a^0=1,a^1=a,a^{m+n}=a^m\cdot a^n$. Получаем: $1=0^0=0^{q-1}\cdot 0^1=0$. Но если переопределить n и m как элементы \mathbb N$, то всё вроде бы в порядке.

Получается, что экспонент далеко не всегда элемент того же самого поля, в котором, собственно, проводится возведение в степень? Ну вот полиномы: в $\sum_i a_ix^i$ это самое i может быть совершенно любым натуральным числом или всё-таки есть ограничения в зависимости от поля, из которого берутся a_i и x?

[Xaositect]

zabolekar в сообщении #286688 писал(а):

Получается, что экспонент далеко не всегда элемент того же самого поля, в котором, собственно, проводится возведение в степень?

Совершенно верно: таким образом определяется только натуральная степень.

zabolekar в сообщении #286688 писал(а):

Ну вот полиномы: в это самое i может быть совершенно любым натуральным числом или всё-таки есть ограничения в зависимости от поля, из которого берутся a_i и x?

Натуральное число.
$x$, кстати, вообще ни из какого поля не беется, это просто буква.

[zabolekar]

Ага, спасибо.

Xaositect в сообщении #286691 писал(а):

Совершенно верно: таким образом определяется только натуральная степень.

Но ведь оно будет работать и для целой степени (кроме $0^n,n<0$). А если определить каждое натуральное число как сумму соответствующего количества единиц, то и для рациональной. Разве нет?

[Xaositect]

zabolekar в сообщении #286710 писал(а):

Но ведь оно будет работать и для целой степени (кроме ). А если определить каждое натуральное число как сумму соответствующего количества единиц, то и для рациональной. Разве нет?

Для целой будет, для рациональной уже сложнее. Там нужен корень.

[zabolekar]

Ну смотрите. Вот мы определили $2:=1+1$. Тогда $a^{\frac{p}{2}}\cdot a^{\frac{p}{2}}=a^{\frac{p}{2}+\frac{p}{2}}=a^{(1+1)\cdot\frac{p}{2}}=a^{\frac{2p}{2}}=a^p$, и аналогично с другими корнями.

[Xaositect]

Ну да, то есть получается, что $a^{\frac 1 2}$ - это такое $x$, что $x^2 = a$, т.е. квадратный корень.
Оно, вообще говоря, определено неоднозначно. Вот в случае действительных чисел считают, что корень четной степени должен быть положительным, и т.п.
Использовать-то эту схему можно, но желательно конкрентые детали уточнять.

[AD]

Вопрос слишком простой для общего раздела,
переношу в учебный.

[Профессор Снэйп]

Вообще, конечно, можно задаться вопросом о том, для каких колец $R$ с единицей существует бинарная операция $f: R^2 \to R$, такая что $f(x,1) = x$ и $f(x,y+z) = f(x,y) \cdot f(x,z)$. Дополнительно можно потребовать ещё $f(x, y \cdot z) = f(f(x,y),z)$ и/или $f(x \cdot y, z) = f(x,z) \cdot f(y,z)$.

Для $R = \mathbb{F}_p$ такую $f$ найти, ясное дело, невозможно.