Целое уравнение.

[daogiauvang]

Пусть натуральное число $n$ такое, что уравнение $a^n+b^n=c^2$ где $a,b,c$ простые числа имеют по крайней мере одно решение. Найдите максимально возможное значение $n$.

Я думаю, что $n=2^km$ нет решения.
При $n=2$ уравнение Питфагора- нет решений простых чисел.
При $n=4$ уже доказал что нет решений.
Я догадался что, нет решений при $n=2^k$

Значит, что $n=1$ пример набор чисел $(2,3,5)$

[gris]

как может при $n>2\quad c$ быть простым числом?
$c^2$ делится на $(a+b)$, то есть $c=a+b$

При $n=1$ решение $2^1+7^1=3^2$

При $n=2$ получаем $4+b^2=c^2$ нет решений.

[daogiauvang]

gris в сообщении #285909 писал(а):

как может при $n>2\quad c$ быть простым числом?

Я не уверен что, существует ли при $n>2$ быть простым числом...
почему $c^2$ делится на $a+b$???
если $n=2^k \cdot m$ ( где $m$ нечетное число) получится что $c^2 $ делится на $ a^{2^k}+ b^{2^k}$

[gris]

При $n>2\quad a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots+(-1)^{n+1}b^{n-1})$, если $n$ - нечётное
То есть $c^2$ делится на $(a+b)$. Но так как $c$ - простое, то $c=a+b$. И вторая скобка тоже равна $c=a+b$. Причём $a=2$ (или $b$).
Для $n=3$, например, получим $4-2b+b^2=2+b$ или $b^2-3b+2=0$ $b=1; b=2$- не подходят


И вообще $2^n+b^n=4+4b+b^2$
$b^n-b^2-4b+2^n-4=0$

[AD]

gris в сообщении #285915 писал(а):

При $n>2\quad a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots+(-1)^{n+1}b^{n-1})$

Вы ничего не путаете? При n=4 тоже?

[gris]

Точно! Это ж для нечётных степеней только. Да всё равно, последнее уравнение при $n>3$ не имеет корней $b\leqslant 3$

[Батороев]

$c\ne 2$, т.к. в противном случае уравнение приобретает вид:
$a^n+b^n=4$, которое решений в простых числах не имеет.

Допустим, $b=2$, тогда:

$\dfrac {2a^n+2\cdot 2^n}{2}=c^2$,
т.е. числа:
$2a^n; c^2; (2\cdot 2^n)$ - три члена арифметической прогрессии, следовательно, одно из чисел $a; c$ должно делиться на $3$.

Если $c=3$, то уравнение приобретает вид:
$a^n+2^n=3^2$, которое имеет единственное решение.

Остается вариант:
$3^n+2^n=c^2$.

[12d3]

Батороев в сообщении #285938 писал(а):

Остается вариант:
$3^n+2^n=c^2$.

Как показано выше, при нечетном $n$ $с=a+b=5$, и решений нет. При четном $n=2k$
$3^{2k}=c^2-2^{2k}=(c-2^k)(c+2^k)$. Т.к. оба сомножителя не могут быть кратны трем, то $c-2^k=1$, подставляем в исходное уравнение получаем $3^{2k}=2^{k+1}+1$, которое при $k \ge 1$ решения не имеет, ибо левая часть возрастает быстрее, чем правая.

[Батороев]

Этот вариант при нечетных $n>1$ решений не имеет (по остаткам по основанию $8$).

При четных $n$ уравнение приобретает вид:
$ 3^{2k}= c^2-2^{2k}=(c-2^k)(c+2^k)$, в котором обе скобки могут быть взаимно простыми числами только при
$c-2^k=1$,
откуда $c=2^k+1$.
Тогда $3^{2k}=2\cdot 2^k+1\ne (2+1)^{2k} $.

-- Пт фев 05, 2010 22:36:57 --

Чуть-чуть долго провозился с формулами.

-- Пт фев 05, 2010 23:30:39 --

Батороев в сообщении #285938 писал(а):

т.е. числа:
$2a^n; c^2; (2\cdot 2^n)$ - три члена арифметической прогрессии, следовательно, одно из чисел $a; c$ должно делиться на $3$.

В этом месте я ошибся. Часто упускаю из вида то, что это верно, только если разность арифметической прогрессии не кратна $3$, а это не очевидно.

-- Пт фев 05, 2010 23:34:46 --

Ладно. Не доказал, так хоть согрелся!

[12d3]

Батороев в сообщении #285944 писал(а):

Ладно. Не доказал, так хоть согрелся!

Ну почему же? Подставьте в доказательстве вместо 3 a, и оно нисколько не изменится, зато будет охватывать вообще все варианты.

[daogiauvang]

12d3 в сообщении #285954 писал(а):

Батороев в сообщении #285944 писал(а):

Ладно. Не доказал, так хоть согрелся!

Ну почему же? Подставьте в доказательстве вместо 3 a, и оно нисколько не изменится, зато будет охватывать вообще все варианты.

вместо 3 то получилось что, $b^{2K}=2^{k+1}+1$ ( при $n$ четном) тогда левая часть возрастает быстрее, чем правая.
При нечетном, тогда $c= 2+a$ как дальше???