Площадь сферической поверхности

[Circiter]

Вот развитие моей идеи.

Пусть $S(r,\ R)$ -- площадь круга радиуса $r$ на сфере радиуса $R$; $S(a,\ b,\ R)$ -- площадь сферического равнобедренного треугольника с основанием $a$ и двуми другими сторонами $b$ на сфере радиуса $R$; $\psi(a,\ b,\ R)$ -- величина угла при основании $a$ сферического равнобедренного треугольника с двуми равными сторонами $b$ на сфере радиуса $R$. Формулы для этих функций должны быть в книжке по сферической тригонометрии.

Теперь представьте себе сферический треугольник, образованный центрами отверстия и "внутра", а также одной из точек пересечения их границ. Этот треугольник равнобедренный, две его стороны равны $r$. Очевидно, что его площадь равна площади треугольника, образованного точками пересечения границ и центром отверстия. Если ранее приведенная мной формула для площади сферического кругового сектора верна (???), то искомая площадь луночки-линзы равна

$$S_\between=2\left(\frac{\psi(D,\ r,\ R)\cdot S(r,\ R)}{\pi}-S(D,\ r,\ R)\right),$$

где $D$ -- расстояние (сферическое, разумеется) между центрами отверстия и внутра.

В общем, $S_\between=S_\between(D)$, а величина $D$ должна определяться законом движения внутра (слово-то какое дикое).

[gris]

Я в маткаде попытался изобразить, чего мы ищем



И тут цирциттеровы множества!!!!

[Circiter]

Оно, оно! Апельсец!

[Circiter]

Залез в книжку, увидел парочку полезных формул. Оказывается площадь треугольника с углами $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ на единичной сфере равна $\alpha+\beta+\gamma-\pi$. Также для этого треугольника справедлива теорема синусов $\sin\ \alpha/\sin\ a=\sin\ \beta/\sin\ b=\sin\ \gamma/\sin\ c$, где $a$, $b$ и $c$ -- стороны, противолежащие углам $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Кроме того, для сферического прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ на той же единичной сфере справедлива сферическая теорема Пифагора $\cos\ c=\cos\ a\cdot\cos\ b$. Вот этими тремя формулами я и собираюсь воспользоваться.

Итак, центры отверстия и внутра, а также точки пересечения их границ образуют сферический ромб, котороый своими диагоналями делится на четыре прямоугольных треугольника.

Начнем с функции $\psi(a,\ b,\ 1)$. В одном из вышеупомянутых прямоугольных треугольников напротив угла в половину значения этой функции лежит сторона (катет), по длине равная половине расстояния между точками пересечения отверстия и внутра, обозначим длину этой стороны как $l$. Другой катет, очевидно равен половине расстояния между центрами кругов, т.е., $D/2$. По теореме Пифагора $\cos\ r=\cos\ l\cdot\cos(D/2)$, откуда $l=\arccos\big[\cos\ r/\cos(D/2)\big]$.

Теперь применим теорему синусов:

$$\frac{\sin\frac{\psi(D,\ r,\ 1)}{2}}{\sin\ l}=\frac{1}{\sin\ r}=\frac{\sin\ \gamma}{\sin\frac{D}{2}},$$

где $\gamma$ -- угол напротив катета длины $D/2$, а значение синуса прямого угла принято равным единицы (правильно ли это?). Отсюда,

$$\psi(D,\ r,\ 1)=2\arcsin\frac{\sin\ l}{\sin\ r},$$

$$\gamma=\arcsin\frac{\sin\frac{D}{2}}{\sin\ r}.$$

Теперь, имея все углы, можно отыскать площадь $S(D,\ r,\ 1)$, точнее говоря $S(2l,\ r,\ 1)$. Она равна $S(D,\ r,\ 1)=2\gamma+\psi(D,\ r,\ 1)-\pi$.

Как переписать эти формулы для сферы произвольного радиуса? Нужно в них аккуратно впендюрить $R$. Неуверен, что у меня это получится, но я попробую:

$$l=R\arccos\frac{\cos\frac{r}{R}}{\cos\frac{D}{2R}},$$

$$\psi(D,\ r,\ R)=2\arcsin\frac{\sin\frac{l}{R}}{\sin\frac{r}{R}},$$

$$\gamma=\arcsin\frac{\sin\frac{D}{2R}}{\sin\frac{r}{R}},$$

$$S(D,\ r,\ R)=R^2 S(D,\ r,\ 1).$$

Выражение для $S_\between$ выглядит теперь устрашающе: \begin{eqnarray}\lefteqn{S_\between=2\Bigg[\left(2\arcsin\frac{\sin\ \arccos\left\{\cos\frac{r}{R}/\cos\frac{D}{2R}\right\}}{\sin\frac{r}{R}}\right)\left(\frac{S(r,\ R)}{\pi}-R^2\right)-{} } \nonumber\\ && {} -R^2\left(2\arcsin\frac{\sin\frac{D}{2R}}{\sin\frac{r}{R}}-\pi\right)\Bigg].\nonumber\end{eqnarray}

P.S.: Ошибок здесь наверное немеряно...

[venco]

Circiter в сообщении #285823 писал(а):

Итак, центры отверстия и внутра, а также точки пересечения их границ образуют сферический ромб, котороый своими диагоналями делится на четыре прямоугольных треугольника.

Первая, и главная ошибка. Окружность на сфере не является прямой (кроме больших кругов). Соответственно, пересечение двух кругов не является ромбом.

[Circiter]

Попробую найти $S(r,\ R)$. Это можно сделать, адаптировав формулу, полученную venco, или попробовать еще одну вывести.

Окружность сферического радиуса $r$ на сфере радиуса $R$, если не ошибаюсь, имеет "плоский" евклидов радиус $\sin(r/R)$, поэтому длина этой окружности равна $2\pi\sin(r/R)$.

Можно записать площадь тонкого колечка, намазанного на эту окружность, как $dS(r,\ R)=2\pi\sin(r/R)dr$, и получить площадь круга радиуса $r$:

$$S(r,\ R)=2\pi\int\limits_0^r \sin\frac{r}{R}dr=-2\pi R\cos\frac{r}{R}.$$

Откуда здесь знак минуса взялся, я вообще понятия не имею. Наверное неправильно проинтегрировал и не то. Пора уже каким-нибудь мат. пакетом обзавестись...

2venco

Цитата:

Первая, и главная ошибка. Окружность на сфере не является прямой (кроме больших кругов). Соответственно, пересечение двух кругов не является ромбом.

Я понимаю, что написал малочитабельный отжиг, но постарайтесь еще раз перечитать. Я просто соединил четыре точки (центры кругов + две точки пересечения их границ) геодезическими кусками. Вроде бы ромб...

[venco]

Circiter в сообщении #285825 писал(а):

2venco

Цитата:

Первая, и главная ошибка. Окружность на сфере не является прямой (кроме больших кругов). Соответственно, пересечение двух кругов не является ромбом.

Я понимаю, что написал малочитабельный отжиг, но постарайтесь еще раз перечитать. Я просто соединил четыре точки (центры кругов + две точки пересечения их границ) геодезическими кусками. Вроде бы ромб...

Ага, вы правы. Идея правильная. Взять два круговых сектора и вычесть два треугольника. Также можно и пересечение кругов на плоскости считать.

-- Чт фев 04, 2010 21:28:30 --

А не проще ли считать всё на единичной сфере, а потом добавить коэффициенты где надо?

[venco]

Circiter в сообщении #285825 писал(а):

Можно записать площадь тонкого колечка, намазанного на эту окружность, как $dS(r,\ R)=2\pi\sin(r/R)dr$, и получить площадь круга радиуса $r$:

$$S(r,\ R)=2\pi\int\limits_0^r \sin\frac{r}{R}dr=-2\pi R\cos\frac{r}{R}.$$

Откуда здесь знак минуса взялся, я вообще понятия не имею. Наверное неправильно проинтегрировал и не то. Пора уже каким-нибудь мат. пакетом обзавестись...

Нижний предел интегрирования забыли, а там не ноль:
$S(r,\ R)=2\pi R^2\left(1-\cos\frac{r}{R}\right)=4\pi R^2\sin^2\frac{r}{2R}=\pi r^2 \left(\frac{\sin\frac{r}{2R}}{\frac{r}{2R}}\right)^2$
Что-то напоминает, не правда ли?

Если я нигде не ошибся, то получились достаточно компактные формулы.
Я всё-таки приму радиус сферы за единицу, и обозначу $d = \frac D 2$.

Площадь двух секторов: $S_1 = 4 \left(1-\cos r\right) \arccos \frac{\tan d}{\tan r}$
Площадь ромба: $S_2 = 4 \arccos^2 \frac {\cos^2 d + \cos r}{\cos d \left(1+\cos r\right)}$
Ну и, соответственно, их разность - площадь пересечения кругов.

[Circiter]

2venco

Цитата:

Нижний предел интегрирования забыли

Да, первообразную нашел, а про Ньютона-Лейбница забыл (хотя про $\cos\ 0=1$ помнил).

Цитата:

Что-то напоминает, не правда ли?

Что?

Цитата:

А не проще ли считать всё на единичной сфере, а потом добавить коэффициенты где надо?

Там же где-то надо просто угол в аргументы тригонометрических функций подсовывать, а где-то -- угол, деленный на $R$. Опять же, где-то надо умножать на $R$, а где-то -- на $R^2$. Я боялся запутаться.

[Батороев]

Батороев в сообщении #285701 писал(а):

Если сферический сектор рассечь через равные небольшие углы плоскостями, проходящими через центр сферы, то линии пересечения этих плоскостей со сферической поверхностью будут иметь переменную длину.

Подсчитал длину линий пересечения:
$ L(x)=\dfrac {4\pi R\cdot \arccos(\frac{\sqrt{1-\frac{r^2}{R^2}}}{\cos x})}{360^0}$,
где $x$ - угол наклона сечений относительно оси сферического сектора.
Сдается мне, что проинтегрировав данное выражение и получим площадь сферической поверхности.

[Circiter]

2venco
А как у вас в формуле для $S(r,\ R)$ появился множитель $R^2$? До меня что-то не доходит...

[std13]

Батороев в сообщении #285846 писал(а):

Сдается мне, что проинтегрировав данное выражение и получим площадь сферической поверхности.

То есть проинтегрировав данное выражение по x от $\alpha$ до $\beta$?

[Батороев]

Для половины интересующей нас поверхности (видимой части поверхности ВНУТРа) - "Да".

Для проверки правильности полученных выражений можно проинтегрировать по $0<x<\alpha$. Тогда мы должны получить половину площади сферической части сектора ${\pi R(R-\sqrt{R^2-r^2})$.

-- Пт фев 05, 2010 15:14:43 --

Т.к. $\alpha=\arcsin{\frac{r}{R}}$, то можно переписать:

$ L(x)=\dfrac {4\pi R\cdot \arccos(\frac{\cos \alpha}{\cos x})}{360^0}$,

[venco]

Circiter в сообщении #285848 писал(а):

2venco
А как у вас в формуле для $S(r,\ R)$ появился множитель $R^2$? До меня что-то не доходит...

Ну я его просто добавил, решив, что вы потеряли его где-то.
Я сам считал по другому, но результат получился тот же.

-- Пт фев 05, 2010 07:42:22 --

Circiter в сообщении #285842 писал(а):

Цитата:

Что-то напоминает, не правда ли?

Что?

Площадь круга на плоскости, конечно-же.

Circiter в сообщении #285842 писал(а):

Цитата:

А не проще ли считать всё на единичной сфере, а потом добавить коэффициенты где надо?

Там же где-то надо просто угол в аргументы тригонометрических функций подсовывать, а где-то -- угол, деленный на $R$. Опять же, где-то надо умножать на $R$, а где-то -- на $R^2$. Я боялся запутаться.

Длины делим/умножаем на $R$, площади - на $R^2$. Где ж тут запутаешься? А вот, при интегрировании вы запутались.

-- Пт фев 05, 2010 07:44:22 --

Circiter, вот здесь вы потеряли один $R$:

Circiter в сообщении #285825 писал(а):

Окружность сферического радиуса $r$ на сфере радиуса $R$, если не ошибаюсь, имеет "плоский" евклидов радиус $\sin(r/R)$, поэтому длина этой окружности равна $2\pi\sin(r/R)$.

[vvvv]

std, на математическом языке сформулировать задачу не может - это ясно.
Вот неясно, какую задачу решают завсегдатаи форума?
Апельсин gris`а - не помошник.