Система диф.уравнений

[Leox]

Нужно найти первые интегралы такой автономной системы диф. уравнений

$$ \left\{ \begin{array}{l} \dot x_0=0,\\ \\ \dot x_1 =x_1^2+4 x_0^2,\\ \\ \dot x_2 =2 x_1(3 x_0+x_2)\\ \\ \dot x_3=8 x_0 x_2+3 x_1 x_3, \\ \\ \dot x_4 = 10 x_0 x_{3}+4 x_1 x_4. \end{array} \right. $$

Из некоторых других соображений найдены 4 функционально независимых первых интеграла

$$ {\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle {x_0}=C,\\ \\ \displaystyle \frac {x_{{2}}+3\,x_{{0}}}{{x_{{1}}}^{2}+4\,{x_{{0}}}^{2}}}=C,\\ \\ \displaystyle \frac {{x_{{1}}}^{3}-2\,x_{{0}}x_{{2}}x_{{1}}+x_{{3}}{ x_{{0}}}^{2}}{\left( {x_{{1}}}^{2}+4\,{x_{{0}}}^{2} \right) ^{3/2}}}=C,\\ \\ \displaystyle {\frac {-5\,{x_{{1}}}^{4}+10\,{x_{{1}}}^{2}x_{{0 }}x_{{2}}-10\,{x_{{1}}}^{2}{x_{{0}}}^{2}-5\,x_{{3}}{x_{{0}}}^{2}x_{{1} }+20\,{x_{{0}}}^{3}x_{{2}}+2\,x_{{4}}{x_{{0}}}^{3}+10\,{x_{{0}}}^{4}}{ \left( {x_{{1}}}^{4}+8\,{x_{{1}}}^{2}{x_{{0}}}^{2}+16\,{x_{{0}}}^{4} \right)}=C. } \end{array} $$

Вопрос такой - как получить этот результат непосредственно из системы уравнений?

[Lyoha]

Обратите внимание, что каждое из уравнений зависит только от записаных выше его и от соответствующих переменных.

[Leox]

Lyoha в сообщении #285611 писал(а):

Обратите внимание, что каждое из уравнений зависит только от записаных выше его и от соответствующих переменных.

да, ето так называемая треугольная система. в принципе они решаются сверху вниз, а потом из решений исключаются константы. Например

$\begin{equation*} x_0=C_0,\\ \\ x_1=2 C_1 \tg(2 C_0(t+C_1)),\\ \\ x_2=C_2(4 C_1^2 \tg^2(2 C_0(t+C_1)+4 C_0^2)-3 C_0. \end{equation*}$

Из етих уравнений можно легко получить, что

$$ \frac{x_2+3 x_0}{x_1^2+4 x_0^2}=C_2. $$

Дальше все усложняется и не получается так просто исключить константы.