конформное отображение окружность - квадрат

[claSH]

Доброго времени суток. Столкнулся со следующей проблемой: есть квадрат (прямоугольник, трапеция), который я хотел бы отобразить на окружность. Т.е. границу квадрата и точки внутри (в моём случае - несколько тысяч, равномерно распределены по квадрату). Согласно теории, которую мне удалось найти, это можно сделать в два этапа: 1. квадрат в верхн. полуплоскость 2. верхн. полуплоскость в окружность. 1й этап делает функция эллиптический синус Якоби (sn). Обратное преобразование (верхн. п/п - квадрат, эта функция была использована для проверки получаемых отображенных точек) осуществляет неолный эллиптический интеграл якоби 1го рода (eli). Далее, встала проблема всё это численно реализовать. Использовал эти две функции из пакетов матлаб и математика хоть для какой-то проверки точности преобразований. И оказалось, что они дают менее более точные значения только для аргумента порядка 0,1 . Полагал - в приницпе не важно, никто не мешает квадрат уменьшить до этих размеров и потом отображать. После преобразования квадрата функцией sn у меня он практически не видоизменился (пробовал при разных значениях параметра k функции sn, при аргументе близком к нулю - функция sn практически не меняет его).

Т.о. проблема свелась к преобразованию квадрата и точек в верхней полуплоскости в окружность. Не могу подбрать функцию, которая преобразовывала бы точки, близко расположенные к периметру квадрата в аналогично близкорасположенные к периметру круга (а именно это и необходимо), а не как либо внутри круга по другому закону. С дробно-линейным преобразованием у меня ничего не вышло (т.е. коэффициенты, необходимые для моей задачи я не смог подобрать). Может быть мне стоит использовать какое-либо другое преобразование? Прошу помощи в данной проблеме.

[PAV]

На самом деле это проще делается. Рассмотрим квадрат со стороной 2, центр которого находится в начале координат. Рассмотрим вписанный в него круг (тоже центр в начале координатр, радиус 1). Требуется непрерывно отобразить квадрат на этот круг. Берем любую точку в квадрате. Проводим луч из начала координат через эту точку. Обозначим через $L$ длину отрезка от начала координат до пересечения луча со стороной квадрата. Так, для вертикального и горизонтального луча это число будет равно 1, а для диагонального - $\sqrt{2}$. Искомое преобразование есть сжатие луча в $L$ раз, т.е. точка с координатами $(x,y)$ на этом луче перейдет в точку с координатами $(\frac{x}{L},\frac{y}{L})$. Из построения видно, что граница квадрата непрерывно переходит в границу круга, ну и внутренность тоже.

Мне тоже как-то пришлось точно такую задачу решать

[lofar]

Если Вам нужно именно конформное отображение квадрата на круг, то здесь без $sn$ не обойтись. Каких либо "более простых" конформных отображений не существует (отображение, описанное PAV, не является конформным).

[Руст]

lofar писал(а):

Если Вам нужно именно конформное отображение квадрата на круг, то здесь без $sn$ не обойтись. Каких либо "более простых" конформных отображений не существует (отображение, описанное PAV, не является конформным).

Не просто не существует простых, в некотором смысле это единственное конформное отображение. Точнее любое другое, отличается от этого на изоморфизм круга в себя, которые расклассированы и имеются в любом учебнике по ТФКП.

[PAV]

А Вам строго требуется именно конформное отображение? Мое кажется мне достаточно естественным, хотя оно и не сохраняет углы.

У меня в свое время обоснование было таким. Квадрат - это был фрагмент черно-белой растровой картинки. Мне нужно было посчитать интенсивность черного цвета по разным направлениям. Я проводил лучи и считал длину черных отрезков. Но так как диагональные длиннее, то пришлось нормировать на длину, что и переводит к указанному преобразованию.

[незваный гость]

PAV писал(а):

У меня в свое время обоснование было таким. Квадрат - это был фрагмент черно-белой растровой картинки. Мне нужно было посчитать интенсивность черного цвета по разным направлениям. Я проводил лучи и считал длину черных отрезков. Но так как диагональные длиннее, то пришлось нормировать на длину, что и переводит к указанному преобразованию.

Это не всегда корректно. Вряд ли интенсивность должна (сильно) меняться при повороте картинки, а при Вашем подходе получится именно это. Скорее имеет смысл нормировать количество черного и белого на единицу длины, т.е. скажем, брать круг радиуса 10, и смотреть, что туда попало по данному направлению. Ой! у меня, похоже, получилось тоже, что и у Вас

[PAV]

А автор темы куда-то пропал...

[shwedka]

Отображение круга на квадрат - классика, дается формулой Кристоффеля-Шварца.
См., например, распространенный задачник Волковысского и др.
по ТФКП,
задача 9.17.
Обратное отображение - в элементарных функциях не выражается, но эллиптические помогут.

[claSH]

извините за временное отсутствие

PAV
благодарю за направление... реализовал предложенный подход (честно говоря, у самого в голове подобное вертелось - но теория ФКП, постоянно торчащая перед глазами сбивала с этого направления )


В принципе, если тут рассматривают прикладные случаи - поясню свой. У меня есть случайная упаковка сферических частиц (шариков) одинакового радиуса (упаковка - просто контейнер, плотно набитый частицами, рисунок, а)) с различными поперечными сечениями. В самом простом случае сечения имеют форму круга (рисунок, c)) и квадрата (рисунок, b)). Для цилиндрич. упаковки (сечение - круг) есть некоторые широко известные (в узких кругах ) распределения частиц (для упрощения - здесь оперирую с центрами частиц, т.е. распределение центров частиц), т.е. смоделированную на компе цилиндрическую упаковку легко проверить на адекватность т.к. имеется много экспериментальных данных. Причём получаются они (распределения) в цилиндрических координатах путём усреденения по углу и по "длине", т.е. продольной координате (которая "присутствует" на рис. а) но "отсутствует" на b) и c) ). Т.е. это распределение - одномерное распределение количества проекций (на плоскость сечения) центров частиц, в зависимости от расстояния до стенки контейнера. Для квадратных нет ничего экспериментального (или по крайне мере не опубликовано опять таки в этих широко-узких кругах ). И поэтому, чтобы как то проверить адекватность полученных упаковок, решил попробовать "свести" квадратную упаковку к цилиндрической. После применённого метода преобразования, естественно, образовались "уплотнения" центров частиц в диагональных направлениях (что можно видеть в виде слегка заметного креста на рисунке, 110Кб, слева - цилиндр, справа - преобразован. квадрат)... Т.е. возникла некая анизотропия, чего в цилиндре не наблюдается (спрашивается, а чего другого я ожидал но тут могу ответить - надо было посмотреть и проанализировать, т.к. есть ещё много вопросов около данной прблемы). Тут конечно нюанс в том, что я пока ещё сам точно не знаю ( чего хочу ) , как наиболее корректно для моего случая преобразовать квадрат для сравнения c кругом. Какую-то информацию можно вытянуть из текущего результата, но главное - всё портится неравномерностью распределения точек по углу в преобразованном квадрате. Вот собственно, и тлеется ещё надежда у меня что конформное отображение как-либо помогло бы мне избавиться от столь явных артефактов преобразования как анизотропия в данном случае, может быть пожертвовав чем-то другим... Наверное зря тлеется Может нужно совсем не конформное отображение применять? Вполне допускаю отсутствие возможности корректно сравнить две упаковки применительно к моей проблеме. Заранее благодарен за любые мысли по данному поводу.





ЗЫ

Цитата:

Отображение круга на квадрат - классика, дается формулой Кристоффеля-Шварца.
См., например, распространенный задачник Волковысского и др.
по ТФКП,
задача 9.17.
Обратное отображение - в элементарных функциях не выражается, но эллиптические помогут.

shwedka, имхо, прежде чем отвечать на вопрос - думаю стоит вникнуть в его суть: 1. в вопросе уже указан неполный эллиптический интеграл якоби 1го рода - это есть частный случай интеграла К.-Ш., указанного вами. 2. Во всех "классических", как вы говорите , случаях, которые мне встретились, как впрочем и в указанном вами, - преобразовавыют границу, а мне важно также именно наболее корректное для моего случая преобразование точек внутри области (а не просто разговоры о том, будут ли эти точки внутри области или же будут вне её). 3. Конкретное обратное отображение из неэлементарных функций также уже было указано в вопросе (эллиптический синус Якоби (sn)). Вот и напрашивается вопрос (заранее извините за возможную нетактичность): "абчёмречьваабще" в вашем посте?

[Руст]

Подход с отображением для вашей задачи в принципе не корректен. Сами круги отображаются в разные фигуры. Даже, когда их размеры пренебрежительно малы, то разным местам распределения в квадрате будут соответствовать распределение кругов разных радиусов (за счёт разного сжатия или расширения). Если распределение в круге для малых радиусов не зависит от радиусов исходных сфер, в этом случае конформное отображение должен помочь.