Докажите что множество A плотно в множестве B.

[Scout]

Люди, а как с множеством $B$ связать то.
Пусть даны топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$ и два подмножества $A,B\subset X$ Тогда множество $A$ называется плотным во множестве $B$ если любая окрестность любой точки B содержит хотя бы одну точку из A, то есть: $$\forall x \in B \; \forall U\in \mathcal{T}\quad \bigl(x \in U\bigr) \Rightarrow \bigl(U \cap A \neq \emptyset\bigr)&$
Преподаватель сказал что надо так делать. И говорит что типа надо брать точку из $A$ и из $B$ и чтобы точка из $A$ была как можно ближе к точке из $B$ . И говорит ,что ни одна пара точек не совпадут друг с другом.
И еще написал мне вот это сегодня:
x \in \mathbb R \
$x_0=x-2\pi k$,k \in \mathbb R \
$x_0 \in \ [0,2\pi]$
$y_n=n$= всюду плотно
Рассмотрим $\epsilon>0$ существует $y_n=\bigcup_\epsilon(x_0)???$

-- Вт фев 02, 2010 19:25:51 --

Профессор Снейп, получается что все верно? Ток вот этот момент $y_n=\bigcup_\epsilon(x_0)$ я неразберу есть ли он у вас или его надо еще доработать?

[Профессор Снэйп]

Вот человек! Целую страницу ему исписали, а он ничегошеньки не понял.

Я ухожу отсюда

[SlavkaTT]

Помогите разобраться дано множество A={sin n:n принадлежит Z} B=[0,бесконечность]
надо доказать что множество A плотно в множестве B(в естественной топологии на прямой)


подскажите как по пунктам хотя бы что делать если не сложно=)

От модератора AD:

Сообщение подцеплено сюда, ибо похоже на ту же задачку.

[Scout]

Я конечно все покажу преподавателю.Но врят ли он зачтет)

[jetyb]

Для $B=[0;\infty]$ это, конечно же, неверно, а для $B=[0;1]$ разобрано в параллельной теме.

От модератора AD:
Теперь уже в этой теме. То есть тоже подклеил.

[ewert]

Как-то всё запущено. Попробуем то же доказательство изобразить посермяжнее.

Собственно, доказывать надо вот что. Пусть $\alpha$ фиксировано и $A$ -- это множество чисел вида $\{n\alpha\}$ (дробные части) по всем $n\in\mathbb Z$. Тогда: если $\alpha$ иррационально, то $A$ плотно в $[0;1]$.

Множество $A$ обладает такими достаточно очевидными свойствами:

(1) если $x,y\in A$, то а) $|x-y|\in A$ и б) $x+y\in A$, если только $x+y<1$;
(бог с ней, с групповой структурой в полном смысле -- хватит и этого)

(2) все числа вида $\{n\alpha\}$ -- разные (если бы было хоть одно совпадение, то $\alpha$ оказалось бы рациональным);

(3) (как следствие) множество $A$ содержит бесконечное количество точек;

(4) (как следствие) среди точек $A$ найдутся сколь угодно близкие, т.е.: $(\forall\varepsilon>0)\ \exists x,y\in A,\;x\neq y:\ |x-y|<\varepsilon$;

(5) (как следствие (1а) и (4)) множество $A$ содержит элементы сколь угодно малые, но не равные нулю.

Теперь собственно доказательство. Предположим, что $A$ не плотно в $[0;1]$, т.е. что существует непустой интервал $(\beta;\gamma)\subset[0;1]$, не содержащий ни одной точки $A$. Согласно (5), $\beta>0$. По той же причине найдётся точка $x_0\in A$, лежащая левее $\beta$. И опять же из (5) следует, что существует положительное число $d\in A$, меньшее длины интервала $(\beta;\gamma)$. Но тогда при каком-то $k$ число $x_0+k\,d$ обязательно попадёт внутрь $(\beta;\gamma)$, а согласно (1б) любое такое число входит в $A$. Это противоречит исходному предположению.

[Scout]

Вот Умница!

[ewert]

Это меня автор типа похвалил, да?... -- ну я типа польщён...

[wardez]

Докажите, что множество $A$ плотно в множестве $B$:
$A=\{\cos n:$$n \in \mathbb{N}$$\}$
$B=[-1,0]$
Подскажите с алгоритмом решения данной задачи.