четыре точки

[ameba]

Как можно найти уравнение прямой, до которой сумма квадратов от данных четырех точек минимальна?

[ewert]

ameba в сообщении #285027 писал(а):

Как можно найти уравнение прямой, до которой сумма квадратов от данных четырех точек минимальна?

Это -- не вполне тривиальная задача. Заведомо это прямая проходит через центр масс тех точек, а вот чтоб найти её угловой коэффициент -- придётся искать собственные числа и векторы некоторой матрицы (слава богу, что всего лишь два на два).

[ameba]

Тут достаточно хорошие координаты точек: (0;0), (0;10), (10;5), (5;0). Может, это прямая соединяющая точку (0;10) и (5;0)? Только не могу это доказать...

[AD]

Ну функцийку-то составьте и минимумчик-то поищите.

[ameba]

через расстояние от точки до прямой для её уравнения ах+ву+с=0 выходит уравнение с тремя неизвестными а, в и с, но при каких оно принимает минимальное значение не знаю, как искать.

[AD]

Находим производную, приравниваем к нулю. Всё как обычно.

Только функция многих переменных, поэтому производная - это что?

Да, и надо как-то обслужить избыточность переменных. Скажем, отдельно рассмотреть случаи $c=0$ и $c=1$, в каждом по две переменных. Но это, наверное, не самый правильный способ. Вот ewert подсказывает, что одна точка на прямой известна, значит, можно вообще одной переменной ограничиться - углом.

Но на самом деле надо потыркаться и поискать наиболее удобную формализацию.

[ameba]

Простите, не понимаю...я учусь в школе ещё...и не понимаю, как брать производную трех переменных...а центр масс - это точка пересечения диагоналей?

[AD]

ameba в сообщении #285062 писал(а):

Простите, не понимаю...я учусь в школе ещё...

А, ё-моё, серьёзно? Так бы сразу и сказали. Тогда не знаю, тут думать надо

-- Пн фев 01, 2010 22:52:58 --

А третья точка точно такая? Не $(5;10)$ случайно?

[ameba]

Точно:( если б она была такой, то задача очевидна...

[AD]

Ну хорошо, ну максимум функции одной переменной искать умеете? Тогда давайте попробуйте поверить совету ewertа про центр масс и поминимизировать по углу. Центр масс - это надо сложить все координаты и поделить на число точек. Ну то есть будет $\left(\frac{15}4,\frac{15}4\right)$. Дальше записать уравнение прямой, проходящей через эту точку с углом наклона $\alpha\in[0,\pi)$, и найти минимизируемую величину как функцию $\alpha$. Будет страшновато, но авось повезёт.

-- Пн фев 01, 2010 23:19:58 --

Хотя мне самому такое решение не нравится. Может, еще кто-нибудь что-нибудь совсем геометрическое придумает?

[ameba]

А почему всё-таки эта точка будет принадлежать искомой прямой? Можете пояснить? Я в общих чертах знаю массы...

-- Вт фев 02, 2010 00:45:52 --

Ой...там корни из 21 получились...подозрительно как-то...

[ewert]

Ну хорошо, попытаемся решить. Чтобы единичный вектор $\vec n$ был направляющим для этой прямой, нужно, чтобы на нём достигался максимум квадратичной формы $(G\vec n,\vec n)$, элементы матрицы которой суть $g_{ik}=\sum\limits_k(\vec r_k)_i\cdot(\vec r_k)_j$, а $\vec r_k$ -- это вектор, соединяющий центр масс с $k$-той точкой. Это означает, что $\vec n$ -- это собственный вектор матрицы $G$, отвечающий её наибольшему собственному числу. В нашем случае: $g_{xx}=\sum\limits_{k=1}^4x_k^2$, $g_{yy}=\sum\limits_{k=1}^4y_k^2$ и $g_{xy}=g_{yx}=\sum\limits_{k=1}^4x_ky_k$. Векторы (после сокращения на общий множитель ${5\over4}$):

$(-3;-3)$
$(-3;5)$
$(1;-3)$
$(5;1)$

Матрица:

$$G=\begin{pmatrix}44&-4\\-4&44\end{pmatrix} =4\cdot\begin{pmatrix}11&-1\\-1&11\end{pmatrix}.$$

Её собственные числа (после сокращения на четвёрку): $\lambda_1=10$ и $\lambda_2=21$. Собственный вектор, отвечающий наибольшему собственному числу $\lambda_2=21$: $\vec n=(1;-1)$ (он не нормирован, но здесь это и не обязательно -- нормировка нужна была только при формулировании алгоритма). Уравнение прямой:

$${x-{15\over4}\over1}={y-{15\over4}\over-1}\quad\Longleftrightarrow\quad x+y={15\over2}.$$

Конечно, это решение не для школьников, но зато именно "геометрично" и универсально.

--------------------------------------------------------------
Да, а почему прямая проходит через центр масс -- это просто. Пусть на данной прямой достигается минимум. Развернём координатные оси так, чтобы прямая оказалась параллельной одной из осей -- например, иксов. Пусть она проходит через $y=y_0$ (в новых координатах, естественно). Тогда сумма квадратов расстояний -- это $\sum\limits_k(y_k-y_0)^2$. Очевидно, что она минимальна именно при $y_0=0$ (и только в этом случае). Или, другими словами: если прямая не проходит через центр масс, то она не может быть оптимальной. Причём это рассуждение проходит для любых размерностей.

[ameba]

ewert в сообщении #285109 писал(а):

Очевидно, что она минимальна именно при $y_0=0$ (и только в этом случае).

а отсюда не следует, что прямая проходит через точку (0; 0)?

[ewert]

ameba в сообщении #285180 писал(а):

а отсюда не следует, что прямая проходит через точку (0; 0)?

Конечно, следует. Но ведь именно этого мы и добивались.

[ameba]

Цитата:

Конечно, следует. Но ведь именно этого мы и добивались.

но ведь это не центр масс?