Асимптотика интеграла типа Лапласа

[IRI]

Есть интеграл: $F(\lambda) = \int_0^1 e^{-\frac{1}{x} - \lambda x} dx$. Предлагается вычислить старший член асимптотики методом Лапласа при $\lambda \to \infty$, воспользовавшись заменой $y = \lambda^{\alpha} y$.

Делаю: $-\lambda^{-\alpha} \frac{1}{y} - \lambda^{\alpha+1} y$, степени при $\lambda$ должны быть одинаковыми, поэтому $\alpha = - \frac{1}{2}$.

Получил $\lambda^{\frac{1}{2}} \int_0^{\lambda^{-\frac{1}{2}}} e^{-\lambda^{\frac{1}{2}}(\frac{1}{y} + y)}$. Вот отсюда я ничего не понимаю. Во-первых, $\lambda^{-\frac{1}{2}} \to 0$ при $\lambda \to \infty$. Более того, $s'(y) = -(\frac{1}{y} + y)' = \frac{1}{y^2} - 1 = 0$ имеет корень в единице, а в нуле $s(y)$ = \infty. В общем, я запутался. Что тут надо делать?

[ewert]

IRI в сообщении #284849 писал(а):

Что тут надо делать?

Исправить показатели степени: в верхнем пределе на самом деле плюс одна вторая (а в множителе перед интегралом, кстати, -- минус).

[IRI]

Точно. Эх, чертовы плюсы-минусы. То есть получается, что максимум функции s(y) будет в единице, пределы интеграла $(0,\infty)$ и отсюда считать всё как обычно?

[ewert]

Да.