сумма модулей синусов

[panukov]

Здравствуйте. Необходимо посчитать следующую сумму
$ \sum\limits_{k=0}^{N-1}\frac{|sin(ak)|}{|sin(ak/N)|} $
Если расчет невозможен, то оценка сверху.
Заранее спасибо.

з.ы. Прошу прощения, ошибся. Обратите внимание на изменения

[Профессор Снэйп]

А при $k=0$ слагаемое чему равно?

[panukov]

Если взять предел при k->0 и оценить синус своим аргументом, то N.
Моделирование в матлаб дает, что ограничено сверху значением 3N, если не учитывать первый элемент (не умеет от неопределенность раскрывать).
Хотелось вы аналитическое выражение получить.

[ewert]

Зависит от $a$. Если, например, $a<{\pi\over2}$ и не слишком мало, а $N$ уходит на бесконечность, то оценка сверху ведёт себя как

$\int\limits_1^N\dfrac{dk}{\sin{ak\over N}}=\dfrac{N}{a}\int\limits_{a/N}^a\dfrac{dx}{\sin{x}}\sim\dfrac{N}{a}\ln N$

(порядок неулучшаем, т.к. числитель ведёт себя хаотически).

В общем же, трудно сказать что-то определённое, пока не указан диапазон параметров.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #284805 писал(а):

В общем же, трудно сказать что-то определённое, пока не указан диапазон параметров.

Ага. А то ведь можно взять $a = \pi N$, и будет сумма неопределённостей