Помогите разобраться в алгоритме решение подобных примеров:
![$\[
\begin{array}{l}
\Delta u = 0 \\
u_\rho (b,\phi ,z) = 2\sin \left( {\frac{{3\phi }}{2}} \right)\cos ^2 \frac{{\pi z}}{2} \\
u(\rho ,0,z) = 0 \\
u(\rho ,\frac{{2\pi }}{3},z) = 0 \\
u(\rho ,\phi ,0) = 0 \\
u(\rho ,\phi ,1) = 0 \\
\end{array}
\]
$ $\[
\begin{array}{l}
\Delta u = 0 \\
u_\rho (b,\phi ,z) = 2\sin \left( {\frac{{3\phi }}{2}} \right)\cos ^2 \frac{{\pi z}}{2} \\
u(\rho ,0,z) = 0 \\
u(\rho ,\frac{{2\pi }}{3},z) = 0 \\
u(\rho ,\phi ,0) = 0 \\
u(\rho ,\phi ,1) = 0 \\
\end{array}
\]
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/9/4d9b009ab15106dcccc20c82a0d26ae482.png)
Делаю 2 разделения переменных по
![$\[
z
\]
$ $\[
z
\]
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/5/84502ff785b9213f49df0a027915e1ea82.png)
и по
![$\[
\phi
\]
$ $\[
\phi
\]
$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/9/95953b52ed94fc322376f9658b5fb01482.png)
, получаю решение в виде функций
![$\[
\Omega _n = \sin \left( {\pi nz} \right)
\]
$ $\[
\Omega _n = \sin \left( {\pi nz} \right)
\]
$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/8/b88b12243fdf6d826c260a992ea5b11782.png)
и
![$\[
\Phi _k = \sin \left( {\frac{{3k\phi }}{2}} \right)
\]
$ $\[
\Phi _k = \sin \left( {\frac{{3k\phi }}{2}} \right)
\]
$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/6/7b62b0fc3fb9de7dec039f9c0f0ceacc82.png)
.
Сравнивая эти решения и неоднородность по
![$\[
\rho
\]
$ $\[
\rho
\]
$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/d/d7dca1dc761858db266bfe030dedc2e282.png)
видно что решение уравнения нужно искать для k=1.
А что делать со второй частью неоднородности -
![$\[
2\cos ^2 \left( {\frac{{\pi z}}{2}} \right)
\]
$ $\[
2\cos ^2 \left( {\frac{{\pi z}}{2}} \right)
\]
$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/7/ff7f7472f5c799f98bb549b05a18946d82.png)
?