разложить ф-цию в ряд Тейлора,отображения,интегралы

[aVague]

1)разложить ф-цию в ряд Тейлора $f(z)=\frac{z-1}{z^2-6z+8}$
c центром в нуле,найти радиус сходимости
2)найти образ области ${z: x<0,y<0,2x^2-2y^2<1}$
при действии ф-ции arcsin z
3)отобразить конформно область на верхнюю полуплоскость:
${z:y>0,|z-\frac{1-i}{2}|<\frac{1}{\sqrt{2}}$
4)вычислить

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin(\pi x)}{(x+2)(x^2-6x+10)} dx$$

по 4-му вопрос такой -что делать с действительным вычетом в точке -2?

[ewert]

aVague в сообщении #282884 писал(а):

по 4-му вопрос такой -что делать с действительным вычетом в точке -2?

Честно посчитать и учесть с коэффициентом $\pi i$ вместо $2\pi i$, поскольку после перехода к экспоненте это будет простой полюс на контуре интегрирования.

[aVague]

в первой непонятно, что значит разложить в ряд с центром нуле, и что считать радиусом сходимости, по идее можно разложить на простейшие дроби затем эти дроби разложить так или иначе, в зависимости от |z| (т.е. сравнивать его с получившемся числом и разлагать соответственно)
в общем , что это значит и как грамотно это сделать?
в третьей начинать с $\frac{1}{z}$?$\frac{1}{z}$ переведет в плоскость без отрезка по идее ,потом жуковский
2-ую не предсавляю как делать

[ewert]

В первой так и раскладывайте, а радиус сходимости -- это расстояние от нуля до ближайшей особой точки.

В третьей: у Вас сегмент круга с вершиной в нуле. Инверсия превратит его в угол 45 градусов, а потом возведение в четвёртую степень развернёт в полуплоскость.

[aVague]

спасибо, а со 2-ой что?

[ewert]

Ну вспомните, или найдите где-нибудь, или просто выведите выражение арксинуса через логарифм. И подставьте туда уравнения границ исходной области. Получите уравнения границ преобразованной области.

Впрочем, найти линию границы можно и без логарифмов. При $y=0$ под арксинусом будет вещественное число, поэтому этот отрезок арксинус переводит на вещественную ось. При $x=0$ -- наоборот, чисто мнимое, и соответственно. Для гиперболы следует использовать гиперболическую параметризацию: $x=a\,\ch t,\ y=a\,\sh t$ с подходящим $a$. Тогда $z=x+iy$ сворачивается по теореме сложения в синус некоторого комплексного числа.

[aVague]

и что,гипербола переходит в гиперболу??

[ewert]

С какой стати в гиперболу? В прямую.