Неопределенный интеграл

[surfer]

\[ \int {\left( {\sqrt x + p} \right)^{ - \frac{p}{{p - q}}} \left( {\sqrt x + q} \right)^{ + \frac{q}{{p - q}}} \left( {\sqrt x } \right)^{ - 3} dx} \]

Какие есть идеи?

[Руст]

За независимую переменную брать $\sqrt x $ и выразить через Бета функцию.

[surfer]

интеграл берется в элементарных функциях

[Руст]

Да, вы правы. Сумма степеней равно 1 (частный случай).

[surfer]

$$ - 2p^{ - 1} q^{ - 1} (x)^{ - {1 \over 2}} \left( {\left( {(x)^{{1 \over 2}} + q} \right)^{ + {p \over {p - q}}} \left( {(x)^{{1 \over 2}} + p} \right)^{ - {q \over {p - q}}} } \right) $$

ЗЫ. Действительно частный случай - в фихтенгольце не нашел указаний как его интегрировать.

[незваный гость]

Похоже, тут мало суммы степеней. Имеет значение и то, что $x+p$, $x+q$…, id est, слагаемые связаны со степенями.

[Руст]

При переходе к переменной

$$z=\frac{\sqrt x +p}{\sqrt x +q}$$

интеграл приводится к форме:

$$2\int \frac{z^a(1-z)dz }{qz-p} .$$

Здесь $a=\frac{q}{q-p}$, ссоответственно берётся это в элементарных функциях или нет зависит от а, т.е. от отношения p/q. В общем случае этот интеграл кажется выражается через вырожденную гипергеометрическую функцию.

[незваный гость]

После замены переменной $\sqrt{x}$:

Рассмотрим $(x-\alpha_1)^{a_1}(x-\alpha_2)^{a_2}(x-\alpha_3)^{a_3}$. Его производная, очевидно, $(p x^2 + q x + r) (x-\alpha_1)^{a_1-1}(x-\alpha_2)^{a_2-1}(x-\alpha_3)^{a_3-1}$. В общем случае это нам никак не помогает, но существует три исключения:
1) Когда $p = q = 0$. Тогда производная равна $(r) (x-\alpha_1)^{a_1-1}(x-\alpha_2)^{a_2-1}(x-\alpha_3)^{a_3-1}$ — аккурат наш случай.

2) Когда $p = 0$ и $ q \alpha_j + r = 0$ для некоторого $j$, т.е. один из $\alpha_j$ — корень полинома.

3) Когда 2 из трех $\alpha$ — корни полинома $p x^2 + q x + r$.

Каждый из этих частных случаем легко приводится к условиям на коэффициенты подинтегрального выражения. Например, в первом случае $a_1 + a_2 + a_3 = 0 \wedge a_1 \alpha_1 + a_2 \alpha_2 + a_3 \alpha_3 = 0$, т.е. легко проверяется.

[незваный гость]

Руст писал(а):

$$2\int \frac{z^a(1-z)dz }{qz-p} .$$

У меня получилось $2\int \frac{z^{\frac{p}{q-p}}(1-z) }{(qz-p)^2} {\rm d}z.$

[Руст]

Возможно я ошибся. В любом случае, в случае, когда а рациональное число, то приводится к интегрированию рациональной функции, т.е. интегрируются в элементарных функциях.

[незваный гость]

Руст писал(а):

когда а рациональное число

$a = \frac{p}{p-q}$ не обязательно рациональное, поскольку $p$, $q$ не обязаны быть рациональными. Да это нигде и не требуется.