Оценка второй производной

[Ulrih]

День добрый!

Меня интересует как можно помимо известных формул, а-ля:

$$y(x)'' \sim \frac{y(x-h)+y(x+h)-2y(x)}{h^2}\,,$$

Можно еще оценить вторую производную не зная значение функции в точке "слева" --- $y(x-h)$, а оперируя только величинами "справа" от точки $x$...

.Олег.

[ShMaxG]

Эти формулы получаются так. Пусть у нас есть точки $x,x+h,x+2h$ и требуется вычислить производную в точке $x$. Просто пишем $\[y''\left( x \right) \approx \frac{{Ay\left( x \right) + By\left( {x + h} \right) + Cy\left( {x + 2h} \right)}} {{{h^2}}}\]$ и находим коэффициенты $A,B,C$. Для этого переходим к $h \to 0$ (Тейлор) и убираем лишние члены, тем самым составляя систему уравнений на $A,B,C$. Здесь $A+B+C=0, \, B+2C=0, \, \frac{1}{2}B+2C=1$.

[ewert]

Ulrih в сообщении #282295 писал(а):

оценить вторую производную не зная значение функции в точке "слева" --- $y(x-h)$, а оперируя только величинами "справа" от точки $x$...

Пожалуйста:

$$y(x)'' = \frac{y(x)+y(x+2h)-2y(x+h)}{h^2}+O(h).$$

А если нужно точнее -- добавляйте слагаемые $y(x+3h)$, $y(x+4h)$ и т.д. с соответствующими коэффициентами.

(А получаются эти формулы просто: выписывается интерполяционный многочлен, желательно в форме Ньютона, и потом тупо дифференцируется.)

[Полосин]

Тривиальное
$ (c-a)y(x+bh)-(b-a)y(x+ch)-(c-b)y(x+ah)\sim(b-a)(c-a)(b-c)\dfrac{h^2}2y''(x) $
не устраивает?

[meduza]

$\frac {dy}{dx}\approx\frac{\Delta y}{\Delta x},\ \Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)$
$\frac {d^2y}{dx^2}\approx\frac{\Delta^2 y}{(\Delta x)^2},\ \Delta^2 y=\Delta(\Delta y)=y(x+2\Delta x)-2y(x+\Delta x)+y(x)$$
$\cdots$
$\Delta$ -- это "правая разность", бывают ещё левые и центральные. В учебниках по числ. методам есть это.

(Оффтоп)

Пока писал, уже ответило 3 человека...

[Ulrih]

Я тоже сейчас немного пописал.
Функция $y(x)$ обладает тем замечательным свойством, что $y'(x) = 0$ в той точке, где мне интересна вторая производная.

$$ y(x)'' = \lim_{h \to 0} {\frac{y'(x+h)- 0}{h} \cong \frac{y(x+2h)-y(x+h)}{h^2} \,. $$

Но Всем спасибо!

.Олег.

[Ulrih]

ShMaxG в сообщении #282299 писал(а):

Эти формулы получаются так. Пусть у нас есть точки $x,x+h,x+2h$ и требуется вычислить производную в точке $x$. Просто пишем $\[y''\left( x \right) \approx \frac{{Ay\left( x \right) + By\left( {x + h} \right) + Cy\left( {x + 2h} \right)}} {{{h^2}}}\]$ и находим коэффициенты $A,B,C$. Для этого переходим к $h \to 0$ (Тейлор) и убираем лишние члены, тем самым составляя систему уравнений на $A,B,C$. Здесь $A+B+C=0, \, B+2C=0, \, \frac{1}{2}B+2C=1$.

А можно указать литературу, в которой описан сей замечательный прием?

.Олег.

[ShMaxG]

Ulrih
Литературы не знаю, а сей замечательный прием расцениваю просто как здравый смысл

[Ulrih]

ShMaxG
Это что-то вроде метода неопределенных коэффициентов, когда раскладываем дробь на простейшие (элементарные).

[ShMaxG]

Нашел! Бахвалов, "Численные методы", глава 2 §15. В этой книжке похожий метод и в численном интегрировании встречается.

[Ulrih]

Во второй главе $\S$ 15 Бахвалов получает:

$$ j(j-1) ... (j-k+1) = \sum_{i=1}^n{c_i x_i^j}\,, \quad j=0,1,...,m $$

Где $k$ --- порядок дифференциала $f^{(k)}(x)$; $m$ --- максимальная степень многочлена; $x_i\,, i=1,2,...,n$ --- узлы, в которых известны значения функции $f(x_i)$.

Пример
Построим первую производную как

$$ f'(x) = c_1 f(-h) + c_2 f(0) + c_3f(h)\,, $$

Для $c_i$ коэффициентов получается СЛАУ.

$$0=c_1+c_2+c_3, $$

$$ 1= c_1(-h) + c_3 h, $$

$$ 0 = c_1(-h)^2+c_3(h)^2 $$

А вот у меня получается для $j=1: \quad 0=c_1(-h) + c_3 h$... Где я ошибился??

[ShMaxG]

Порядок дифференциала $k=1$, значит левая часть состоит только из $j=1$ (для случая когда он равен единице).

Ulrih в сообщении #283022 писал(а):

Где я ошибился??

А еще здесь

[Ulrih]

А откуда тогда берутся еще два уравнения??
$j$ пробегает значения от 0 до $m$. при этом в левой части единица только при $j=k$... во всех остальных случаях --- нули.
Так получается?

(Оффтоп)

нужна клавиша резета...

[ShMaxG]

А там еще $x_0$ есть в формуле, вы ее не до конца выписали.Получается, что всегда, когда $j \ne k$ если $x_0=0$ - левая часть равна нулю. А в этом особенном случае, $j=k=1$ левая часть в нуль не обращается.

[Ulrih]

Хотите сказать, что $x_i = x_0 + i h$...