Найти массу, распределённую...

[guest32]

Найти массу, распределённую по поверхности куба $0 \leqslant x \leqslant a$, $0\leqslant x\leqslant a$, $0\leqslant x\leqslant a$ с поверхностной плотностью $\rho=xyz$.

Я вроде как её решил и у меня полу4ился ответ $a^6/8$, но нигде нет возможности посмотреть ответ. Хо4у узнать: правилен мой ответ или нет?

[ewert]

Неправильно.
Во-первых, степень не та (по соображениям размерности должна быть пятая). Во-вторых, в ответе явно должна присутствовать тройка (по соображениям симметрии). В-третьих, восьмёрка -- это тоже неверно.

[Sasha2]

А по моему правильно. Размерности тут не причем. Задача чисто математическая, поэтому коэффициенты пропорциональности опущены. И если тройной интеграл от xyz по данному кубу вычислен правильно, то ответ правильный.

P.S. По соображениям симметрии тройка и прсутствует, что отражено в третьей стпени двойки.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #282285 писал(а):

И если тройной интеграл от xyz по данному кубу

А он не тройной, а поверхностный.

[gris]

я не понял, получается, что на трёх гранях плотность равна 0, а на каждой из трёх одинаковых других просто интегрируется двойным (повторным) интегралом и ответ $\dfrac{3a^5}4$
Или тут подвох какой?
Кстати, в условии, наверное, $0 \leqslant x \leqslant a$, $0\leqslant y\leqslant a$, $0\leqslant z\leqslant a$

[guest32]

я далеко не силён в математике (можно даже сказать - до безобразия слаб:) ну ноль, коро4е:) )
я не знаю, подвох тут или нет. мне эта задача на экзамене попалась, я не решил. вот сижу думаю как. попробовал просто вычислить тройной интеграл от $xyz$ по этому данному кубу, получилось: $a^6/8$, по-другому даже не представляю как)

да, gris, Вы правы, я ещё и ошибся в условии. правильно $0\leqslant x \leqslant a$, $0\leqslant y \leqslant a$, $0\leqslant z \leqslant a$
помогите с решением, если правила форума позволяют это сделать

[gris]

У Вас же надо найти массу на поверхности и задана поверхностная плотность. То есть как бы куб пустой внутри и надо взвешивать только его стенки. Подозрительно, что стенки, примыкающие к координатным плоскостям, имеют массу 0, ведь там одна из координат равна 0 и значит плотность равна 0.
А на других стенках одна из координат равна $a$ и надо интегрировать, скажем $axy$ по квадрату.

-- Чт янв 21, 2010 15:55:28 --

Вначале мы действительно пишем поверхностный интеграл первого рода и разбиваем его на 6 по граням куба. ($S_{0yz} $ - это грань, где $x=0$):

$M=\iint\limits_{S} p(x,y,z) ds = \iint\limits_S xyz ds =$
$= \iint\limits_{S_{0yz}}0yz ds\,+\iint\limits_{S_{ayz}}ayz ds\,+\iint\limits_{S_{x0z}}x0z ds\,+\iint\limits_{S_{xaz}}xaz ds\,+\iint\limits_{S_{xy0}}xy0 ds\,+\iint\limits_{S_{xya}}xya ds\,=$
$= \iint\limits_{S_{0yz}}0 ds\,+\iint\limits_{S_{ayz}}ayz ds\,+\iint\limits_{S_{x0z}}0 ds\,+\iint\limits_{S_{xaz}}xaz ds\,+\iint\limits_{S_{xy0}}0 ds\,+\iint\limits_{S_{xya}}xya ds\,=$
$=\iint\limits_{S_{ayz}}ayz ds\,+\iint\limits_{S_{xaz}}xaz ds\,+\iint\limits_{S_{xya}}xya ds\,=$
поскольку видно, что эти интегралы численно равны друг другу, то

$=3\iint\limits_{S_{ayz}}ayz ds=3\int\limits_0^a\,dy\int\limits_0^a\,ayzdz$

Конечно, этого всего можно и не писать, но только для строгости. А уж последний интеграл считается легко.

[guest32]

огромное спасибо