аксиомы нормы

[Lord Vader 04]

помогите доказать 3 аксиомы нормы.
норма:
$||X||=\sqrt {k^2x_1^2 + l^2x_2^2} +m|x_1| + n|x_2|$
$k,l,m,n$ - любые числа

[Профессор Снэйп]

1) Докажите, что сумма норм является нормой.

2) Разбейте своё выражение для $\| X \|$ на два слагаемых и для каждого доказывайте, что оно является нормой.

[meduza]

Lord Vader 04 в сообщении #281981 писал(а):

помогите доказать 3 аксиомы нормы.

Не доказать, а проверить -- это раз. Ваши попытки обязательны -- это два. Подкоренное выражение нужно оформлять в фигурные скобки: $\sqrt {k^2x_1^2 + l^2x_2^2}$ -- это три. (А в идеале еще и значок нормы писать как $\|$).

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

meduza в сообщении #281984 писал(а):

Подкоренное выражение нужно оформлять в фигурные скобки: $\sqrt {k^2x_1^2 + l^2x_2^2}$ -- это три.

Не понял сути этого замечания. У Вас и у топикстартера написано идентично.

[meduza]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #281986 писал(а):

У Вас и у топикстартера написано идентично.

Значит исправил (было без верхней палки)

[Lord Vader 04]

Профессор Снэйп в сообщении #281983 писал(а):

1) Докажите, что сумма норм является нормой.

2) Разбейте своё выражение для $\| X \|$ на два слагаемых и для каждого доказывайте, что оно является нормой.

возможно мы друг друга не поняли.
1. $|| \lambda X||=| \lambda|||X||$ - ну это очевидно, это доказал.
2. $||X||=0 <=> X=0$ - не могу доказать в обратную сторону
3. неравенство треугольника, тоже доказать не могу

[Профессор Снэйп]

Lord Vader 04 в сообщении #281990 писал(а):

2. $||X||=0 <=> X=0$ - не могу доказать в обратную сторону

То есть Вы не можете доказать, что если $x_1=x_2=0$, то $\sqrt{k^2x_1^2 + l^2x_2^2} + m|x_1| + n|x_2| = 0$. Я Вас правильно понял?

Lord Vader 04 в сообщении #281990 писал(а):

3. неравенство треугольника, тоже доказать не могу

Последуйте моему совету. Распишите норму в виде суммы двух других норм: $\| X \| = \| X \|_1 + \| X \|_2$, где $\| X \|_1 = \sqrt{k^2x_1^2 + l^2x_2^2}$ и $\| X \|_2 = m|x_1| + n|x_2|$. Затем докажите неравенство треугольника для каждого из слагаемых.

Кстати, у Вас в условии какое-то недоразумение.

Lord Vader 04 в сообщении #281981 писал(а):

$k,l,m,n$ - любые числа

Совсем любые? А если $m$ или $n$ отрицательны? Или ваще комплексные?

[Lord Vader 04]

Профессор Снэйп в сообщении #282007 писал(а):

То есть Вы не можете доказать, что если $x_1=x_2=0$, то $\sqrt{k^2x_1^2 + l^2x_2^2} + m|x_1| + n|x_2| = 0$. Я Вас правильно понял?

наоборот, если $\sqrt{k^2x_1^2 + l^2x_2^2} + m|x_1| + n|x_2| = 0$, то $x_1=x_2=0$

[Профессор Снэйп]

Lord Vader 04 в сообщении #282014 писал(а):

наоборот, если $\sqrt{k^2x_1^2 + l^2x_2^2} + m|x_1| + n|x_2| = 0$, то $x_1=x_2=0$

Тогда почему написали "в обратную сторону". Вы же слева направо импликацию хотите доказывать, а не справа налево.

Доказывайте методом от противного. Предположите, что $x_1 \neq 0$ или $x_2 \neq 0$.

-- Ср янв 20, 2010 23:26:13 --

Всё-таки: что насчёт чисел $k,l,m,n$? Какими они должны быть? Если действительно произвольными, то может получиться и не норма. Например, $k=l=m=n=0$.

[Lord Vader 04]

Профессор Снэйп в сообщении #282018 писал(а):

Тогда почему написали "в обратную сторону". Вы же слева направо импликацию хотите доказывать, а не справа налево.

Доказывайте методом от противного. Предположите, что $x_1 \neq 0$ или $x_2 \neq 0$.

имел ввиду, что прямое доказательство, это которое простое и банальное, а в обратную сторону надо мозг включать. надеялся доказать его простыми преобразованиями, исписал 2 листа, результата нет. $k,l,m,n \in \mathbb{R}$. вот если б не эти коэффициенты, было бы все просто

[Профессор Снэйп]

Я Вам ещё раз говорю: определитесь с тем, какими могут быть эти коэффициенты. Если они, к примеру, все равны нулю, то Вы, конечно, ничего не докажете. Ибо нельзя доказать недоказуемое!

-- Ср янв 20, 2010 23:32:19 --

Если в условии сказано, что $k,l,m,n \in \mathbb{R}$, и ничего более, то задача просто сформулирована некорректно. Вас просят доказать ложное утверждение!

[Lord Vader 04]

само собой они не нули

[Профессор Снэйп]

Lord Vader 04 в сообщении #282029 писал(а):

само собой они не нули

А отрицательными они могут быть?

-- Ср янв 20, 2010 23:34:37 --

Вы откуда эту задачу взяли, из задачника?

[Lord Vader 04]

Профессор Снэйп в сообщении #282031 писал(а):

Lord Vader 04 в сообщении #282029 писал(а):

само собой они не нули

А отрицательными они могут быть?

-- Ср янв 20, 2010 23:34:37 --

Вы откуда эту задачу взяли, из задачника?

задание было придумать норму, доказать эти 3 аксиомы, нарисовать единичный шар. все простые нормы расхватали, пришлось брать эту комбинацию корня и модулей
коэффициенты только положительные, вроде

[Профессор Снэйп]

Тогда наложите условие $k,l,m,n > 0$ и всё у Вас получится

-- Ср янв 20, 2010 23:41:24 --

Я не понимаю. Если задание сформулировано как "придумать норму", то зачем рассматривать произвольные коэффициенты? Положите $k=l=m=n=1$, это ведь будет пример нормы. То есть то, что требуется в задании.