Исследовать ряд на сходимость

[Бабай]

Привет!

Такое дело. Требуется исследовать на сходимость ряд: $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-i)^n}{\log(n)}$, где лог-функция понимается по основанию больше единицы. Имеем:

$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-i)^n}{\log(n)}=\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{-1}{\log(4k+2)}+\frac{i}{\log(4k+3)}+\frac{1}{\log(4k+4)}+\frac{-i}{\log(4k+5)})=\\ \sum_{k=0}^{\infty}(\frac{\log(4k+2)-\log(4k+4)}{\log(4k+2)\log(4k+4)}+i\frac{\log(4k+5)-\log(4k+3)}{\log(4k+3)\log(4k+5)})=\\ \sum_{k=0}^{\infty}(\frac{\log\frac{4k+2}{4k+4}}{\log(4k+2)\log(4k+4)}-i\frac{\log\frac{4k+3}{4k+5}}{\log(4k+3)\log(4k+5)})$

Теперь, так как $\frac{\log(n)}{\sqrt{n}}<\varepsilon$ для достаточно больших $n$, то:

$\frac{\log\frac{4k+2}{4k+4}}{\log(4k+2)\log(4k+4)}\ge\frac{\log\frac{1}{2}}{(\log(4k+4))^2}>\frac{\log\frac{1}{2}}{(4k+4){\varepsilon}^2}$ и
$\frac{\log\frac{4k+3}{4k+5}}{\log(4k+3)\log(4k+5)}\ge\frac{\log\frac{3}{5}}{(\log(4k+5))^2}>\frac{\log\frac{3}{5}}{(4k+5){\varepsilon}^2}$

Таким образом, расходимость исходного ряда следует из расходимости гармонического ряда.

Второй способ:
Так как $(-i)^n=\cos\frac{3\pi{}n}{2}+i\sin\frac{3\pi{}n}{2}$, то имеем:
$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-i)^n}{\log(n)}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\cos\frac{3\pi{}n}{2}}{\log(n)}+i\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\sin\frac{3\pi{}n}{2}}{\log(n)}$=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{\log(2k+2)}+i\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+2}}{\log(2k+3)}

Но что это получается? В глаза бросается тот факт, что $\frac{1}{\log(m)}$ монотонно убывает к нулю. Получается, что к нашим рядам можно применить критерий Лейбница для знакопеременных рядов! Где ошибка?

[ИСН]

Знаете, в наш электронный век буковки стоят дёшево - можно сказать "ошибка где-то в первом варианте", выкинуть его весь и забыть.
Или, если неохота, проверить аккуратнейшим образом по шагам.
Конкретно, ошибка там, где в первый раз упоминается log 1/2.
...

[Полосин]

Бабай в сообщении #281490 писал(а):

Теперь, так как $\frac{\log(n)}{\sqrt{n}}<\varepsilon$ для достаточно больших $n$, то:

$\frac{\log\frac{4k+2}{4k+4}}{\log(4k+2)\log(4k+4)}\ge\frac{\log\frac{1}{2}}{(\log(4k+4))^2}>\frac{\log\frac{1}{2}}{(4k+4){\varepsilon}^2}$ и
$\frac{\log\frac{4k+3}{4k+5}}{\log(4k+3)\log(4k+5)}\ge\frac{\log\frac{3}{5}}{(\log(4k+4))^2}>\frac{\log\frac{3}{5}}{(4k+5){\varepsilon}^2}$

$\log\dfrac{4k+2}{4k+4}=\log(1-\dfrac2{4k+4})=O^*(\dfrac1k)$

[Бабай]

что такое $O^{*}$?...символ Ландау $O$?

[Полосин]

$f=O^*(g): f/g\rightarrow C\ne0,\infty$

[AD]

Товарищи, ставьте скобки по-человечески!
(типа лозунг)

Полосин в сообщении #281504 писал(а):

$\log\dfrac{4k+2}{4k+4}=\log(1-\dfrac2{4k+4})=O^*(\dfrac1k)$

Ну вот так в смысле:
$\log\dfrac{4k+2}{4k+4}=\log\left(1-\dfrac2{4k+4}\right)=O^*\left(\dfrac1k\right)$

$\log\dfrac{4k+2}{4k+4}=\log\left(1-\dfrac2{4k+4}\right)=O^*\left(\dfrac1k\right)$

[Бабай]

Полосин в сообщении #281504 писал(а):

Бабай в сообщении #281490 писал(а):

Теперь, так как $\frac{\log(n)}{\sqrt{n}}<\varepsilon$ для достаточно больших $n$, то:

$\frac{\log\frac{4k+2}{4k+4}}{\log(4k+2)\log(4k+4)}\ge\frac{\log\frac{1}{2}}{(\log(4k+4))^2}>\frac{\log\frac{1}{2}}{(4k+4){\varepsilon}^2}$ и
$\frac{\log\frac{4k+3}{4k+5}}{\log(4k+3)\log(4k+5)}\ge\frac{\log\frac{3}{5}}{(\log(4k+4))^2}>\frac{\log\frac{3}{5}}{(4k+5){\varepsilon}^2}$

$\log\dfrac{4k+2}{4k+4}=\log(1-\dfrac2{4k+4})=O^*(\dfrac1k)$

Во-первых, как выбрать $C$?

Во-вторых, если такое дело, то:

$|\log\frac{4k+2}{4k+4}|\le\frac{C}{k}$, при больших $k$.

Значит $\frac{|\log\frac{4k+2}{4k+4}|}{\log(4k+2)\log(4k+4)}\le\frac{C}{k(\log(4k+2))^2}<\frac{C}{k(\log{k})^2}$. И что дальше?

Вообще почему процитированные вверху неравенства, оценивающие члены рядов снизу, должны не выполняться? Логарифм растёт от $-\log{2}$ до нуля по мере того как $\frac{4k+2}{4k+4}$ стремится снизу к единице. Аналогично для второго неравенства. Где проблема?

[ИСН]

Дальше сходимость по интегральному признаку.
А неравенства хоть и верны, но в эту сторону бесполезны; надо либо оценивать модуль, либо думать.

[Бабай]

Ага, понятно, но ряд у меня начинается же с $k=0$.

Можно конечно "подогнать", говоря что $\log\frac{4k+2}{4k+4}=O(\frac{1}{4k+4})$, и тогда записать
$\frac{|\log\frac{4k+2}{4k+4}|}{\log(4k+2)\log(4k+4)}\le\frac{C}{(4k+4)(\log(4k+2))^2}<\frac{C}{(4k+2)(\log{4k+2})^2}$.

Получается, что я таким образом по дороге ничего не теряю, так что ли?

[ИСН]

Не имеет значения, откуда начинается ряд. Первый член не влияет на сходимость. Второй тоже. Третий тоже.
А вот таская за собой выражения типа "О большое от три ка плюс два", таки можете потерять - уважение экзаменатора, например, что чревато. Ну и просто: больше буковок, легче сбиться.

[Бабай]

На отрезке $[a,b]\subset(0,+\infty)$ вычисляем интеграл

$\int_a^b\frac{1}{x(\log(x))^2}dx=\frac{1}{\log(a)}-\frac{1}{\log(b)}$, и переходя к пределу при $a\to{}0$ и $b\to+\infty$ получаем ноль - потрясающий результат!! Кроме того, если я оставлю всё как есть, то первый член в моём ряду будет $\frac{C}{0(\log(0))^2}$

А если подгоню, то получается

$\int_a^b\frac{1}{(4x+2)(\log(4x+2))^2}dx=\frac{1}{4\log(4a+2)}-\frac{1}{4\log(4b+2)}$, и переходя к пределу при $a\to{}0$ и $b\to+\infty$ получаем $\frac{1}{4\log(2)}$. Мне это как-то больше нравится.

Осталось определить ещё ту константу $C$. Как это делается?

Кстати, поздравьте меня! До меня докатило наконец-то, почему первый способ решения (в самом первом сообщении) - полный бред. Совсем забыл: Теорема сравнения не применима к рядам с отрицательными членами.