Билинейная форма

[serval]

Пусть билинейная форма $\vec q_n P \vec s_n=0$. Известно, что вектор $\vec q_n=\vec q_1 A^{n-1}$. Следует ли из этого, что и вектор $\vec s_n$ должен иметь вид $\vec s_n=B^{n-1} \vec s_1$?

[ewert]

А с какой стати это должно следовать?

Пусть это даже поначалу и так. Но ведь "$P$-ортогональность" не нарушится, если последовательность $\{s_n\}$ почленно умножить на любую числовую последовательность, в т.ч. и сколь угодно быстро растущую.

[serval]

Пускай при векторах $\vec s_n$ находятся числовые коэффициенты $c_n$.
Я спрашивал о том, является ли принадлежность вектора $\vec q_n$ некой последовательности достаточным условием того, что вектор $\vec s_n$ также является членом (другой) последовательности.

[ewert]

Конечно недостаточно. Всё, что требуется от $\vec s_n$ (при каждом конткретном $n$) -- это лишь принадлежность к "ортогональному дополнению" вектора $\vec q_n$. Жутчайший произвол.

[serval]

Ясно.
А знание вектра $q_1$ и матрицы оператора $A$ степени которого образуют последовательность векторов $\vec q_n=\vec q_1 A^{n-1}$ может уменьшить этот произвол?

[ewert]

(философски) Любое дополнительное знание даёт некоторую дополнительную информацию.

Но: полезную только в том случае, если задача чётко поставлена. А у Вас этого пока нет.

[serval]

Дано:
1. Нулевая билинейная форма $\vec q_1 P \vec s_1=0$,
2. Оператор $A$ порождающий последовательность векторов по правилу $\vec q_n=\vec q_1 A^{n-1}$.
Требуется:
Найти такой оператор $B$ порождающий последовательность векторов $\vec s_n=B^{n-1} \vec s_1$, чтобы выполнялось условие равенства нулю билинейной формы $\vec q_n P \vec s_n=0$.

Было бы интересно решение в общем виде. Но если нужен конкретный вид $P,\ A,\ \vec q_1,\ \vec s_1$, то я распишу.