Неопределённый интеграл

[caxap]

Что-то я запутался совсем. В один книгах пишут по-одному, в других по-другому... Меня интересует определение неопределённого интеграла и в книгах я встречаю одно из двух (несовместимых) определений:
1) Наиболее общий вид первообразной, или вид произвольной первообразной, т. е. $\int f(x)\,dx=F(x)+C$, где $C$ --- произвольная постоянная. Такое определение используется в книгах [1]--[6].
2) Множество всех первообразных, т. е. $\int f(x)\,dx=\{F(x)+C\}$, причём принято писать просто $F(x)+C$ (хотя означает это то же, что и предыдущее --- так пишет Кудрявцев в [7]). Такое определение используется в [7], [8], на русской Википедии и еще я по этому форуму полазил и ewert настойчиво говорил в одной теме именно об этом определении.

[1] Фихтенгольц, Курс диф. и интегр. исчисления (том 2)
[2] Зорич, Математичсекий анализ (том 1)
[3] Выгодский, Справочник по высшей математике
[4] Корн, Справочник по математике
[5] Бугров, Высшая математика (том 2)
[6] Пискунов, Диф. и интегр. исчисления (том 1)

[7] Кудрявцев, Курс математического анализа (том 1)
[8] Шилов, Математический анализ (том 1)

Определений на самом деле два? Или приверженцы одного из них не правы?

[gris]

А это всё равно. Сама функция $F(x)$ может иметь разный вид, в зависимости от способа её нахождения. Если есть любая первообразная, то к ней можно прибавить любую константу. Можно ещё сказать "семейство всех первообразных".
Если два определения определяют одно и то же множество объектов, то они равносильны. Сравните с определениями касательной к окружности. Их вообще четыре.
Зорич определил интеграл как наиболее общий вид первообразной? Что-то не верится. Надо посмотреть.

[caxap]

gris в сообщении #280518 писал(а):

А это всё равно.

Не всё равно, я думаю. Вот скажем в первом случае $\int 2x\,dx=x^2+C_1=x^2+5+C_2$, при этом $C_1\neq C_2,\ C_1=C_2+5$ (это пример, аналогичный которому приводит Выгодский в [3]).
В случае, когда неопр. интеграл определяется как множество, должно быть $\int 2x\,dx=x^2+C=x^2+5+C$, т. к. при таком определении $F(x)+C$ считается сокращением для $\{F(x)+C\}$.

-- Чт янв 14, 2010 19:55:50 --

Вот тут что-то похожее.

gris в сообщении #280518 писал(а):

Зорич определил интеграл как наиболее общий вид первообразной?

Слова может быть другие, но смысл в книгах [1]--[6] одинаковый: любая первообразная, общий вид первообразной, проивольный её вид и т.д.

[gris]

А, вот. Неопределённый интеграл это обозначение любой из первообразных.
А что Вы скажете про $\int \sin2x\,dx$?
Это $-1/2\cos 2x+C$ и $\sin^2x+C$

Может быть это и не идейно, но все первообразные это и есть множество всех первообразных.

[ewert]

caxap в сообщении #280517 писал(а):

1) Наиболее общий вид первообразной,

Словосочетание "наиболее общий вид" -- не имеет точного математического смысла.

С другой стороны, "множество всех" -- таковым смыслом обладает.

Другое дело, что описание того множества через добавление каких-то абстрактных констант выглядит формально неспортивно. Но это ничего; все к этому много лет уж как привыкли, и все знают, что под этим буквосочетанием всеми принято понимать.

[gris]

А чем плохо определение "неопределённый инттеграл это выражение $\int f(x)\,dx$, означающее любую из первообразных функции $f(x)$"?

[caxap]

ewert в сообщении #280524 писал(а):

Словосочетание "наиболее общий вид" -- не имеет точного математического смысла.

Смысл таков, $F(x)$ --- любая (конкретная) первообразная, тогда $F(x)+C$, где $C$ --- произвольно выбирается (а не является множеством, при каких-то начальных условиях мы можем определить эту постоянную --- пример в [1], $\S 1$) --- неопр. инетграл. Т. е. под "проивольностью" $C$ понимается не множество всех возможных ее значений, а неизвестное ее значение.

(Оффтоп)

Вот дословно из Фихтенгольца (выделения не мои): ...выражение $F(x)+C$, где $C$ --- произвольная постоянная, представляет собой общий вид функции, которая имеет проиводную $f(x)$ или дифференциал $f(x)\,dx$. Это выражение называется неопределенным интегралом $f(x) и обозначается символом $\int f(x)\,dx$.

gris в сообщении #280523 писал(а):

А что Вы скажете про $\int \sin2x\,dx$?
Это $-1/2\cos 2x+C$ и $\sin^2x+C$

$-1/2\cos 2x$ отдичается на $\sin^2x$ на константу (конкретно $\frac 1 2$), поэтому $\int f(x)\,dx=-1/2\cos 2x+C_1=\sin^2x+C_2$, $C_1,\ C_2$ --- проивольные (в смысле неизвестные) постоянные, главное отличие от "множественного" определения, что в последнем нет смысла вводить разные константы.

-- Чт янв 14, 2010 20:19:50 --

gris в сообщении #280526 писал(а):

А чем плохо определение "неопределённый инттеграл это выражение $\int f(x)\,dx$, означающее любую из первообразных функции $f(x)$"?

Это как раз "первое" определение. Здесь подразумевается любая, но конкретная первообразная, а во "втором" определении --- множество всех возможных.

-- Чт янв 14, 2010 20:22:50 --

Хотя может я не догоняю просто...

[gris]

Я тоже начинаю склоняться к мысли, что множество корректнее. Иначе как можно написать равенство $\int 2x^3 \,dx=\int x^2 \,dx^2$

[meduza]

В недопонимании виноваты исторические причины, в силу которых мы пишем для простоты $F(x)+C$, хотя надо $\{F(x)+C\}$. В некоторых книгах это уточняют, но часто проскальзывает мимо ушей.

[TGX]

Леонард Эйлер. Том 1. Интегральное исчисление

Определение:
Говорят, что найден полный интеграл, когда искомая функция, [заключая в себе] произвольное постоянное, представляется со всей общностью. Если же это постоянное уже определено тем или иным образом, то интеграл называют частным.

Огюстен Луи Коши. Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении (Перевод Буняковского)

Урок 26. О неопределённых интегралах.
.............................................
...........................................
Задача №2. Найти общую функцию $y$, удовлетворяющую уравнению:
$dy=f(x)dx$

Решение:
.........................................
........................................
И так общая величина неизвестной функции $y$ будет:
$y=\int_{x_0}^{x} f(x) dx+w(x)$
Сия общая величина неизвестной y, которая заключает в себе, как частный случай, интеграл $\int_{x_0}^{x} f(x) dx$, и сохраняет тот же вид, какое бы ни было начало $x_0$ сего интеграла, изображена просто в исчислениях через $\int f(x) dx$, и называеться неопределённым интегралом.
...............................................................
............................................................

(Оффтоп)

P.S.: читайте Эйлера... гений!!!!

[Gravist]

Видите ли, уважаемые, существуют различные математические научные школы (не в смысле учреждений с адресом). Даже в России - Московская и Петербургская, а ныне и Сибирская... Фихтенгольц - пример Ленинградской школы... Смотрите: уже у конференц-секретаря Российской Академии наук Эйлера и члена почти всех академий наук Коши, а это праотцы-основатели Д- и И- исчислений, определения несколько разнятся. Просто более старые определения тяготели к бесконечно малым, а поздние становятся все ближе (уже с начальных классов нынешней средней школы) с применением множеств. Просто необходимо смотреть - какой литературой пользуетесь в той или иной работе. В период конкретного труда желательно, во избежание "заклиниваний", подобных настоящей теме, не смешивать научные школы. Если, конечно, это не предусмотрено Руководителем научной темы. И вообще - чаще задавайте вопросы руководителю, т.к. в конце работы ему будет легче понять Вас

[Ales]

А что такое тогда определенный интеграл? Если хотите гармоничную систему терминов, то одновременно с "неопределенным интегралом" должен быть и "определенный интеграл". Причем применение терминов "(не)определенный" должно иметь смысл понятный народу.

А какие термины на других языках?

-- Чт янв 14, 2010 23:14:24 --

Надо спросить у своего профессора и отвечать на экзамене соответственно.

-- Чт янв 14, 2010 23:34:32 --

Вообще это алгебраический объект: первообразная с точностью до прибавления константы. Не просто подмножество, но прямая в линейном пространстве. Линейное пространство факторизуется по прямой, причем главное - новое линейное пространство уже после факторизации.
Мне не нравятся оба определения, приведенные Автором темы.

[TGX]

хм... действительна каждая научная школа предлагает свою аксиоматическую интерпретацию того или иного понятия, обычно имеющие "тонкую" разницу... сказать по правде... мне нравиться вариант, предложенный Эйлером, тем более, что его работа базируется на более ранних трудах англичан (Ньютон и его последователи)... В труде "Леонард Эйлер. Том 1. Интегральное исчисление" первые главы предлагают философско-аксиоматическое понятие интегрального исчисления и как раз всей терминологии... в том числе и понятие неопределённого интеграла, как говориться с ссылкой на авторов данного мат. аппарата...

[Fujiwara no Sai]

Определения эквивалентны:
Произвольную первообразную F(x)+C, где С - произвольная константа, можно переписать в виде множества решений {F(x)+C|C$\in$R}. С другой стороны, множество всех первообразных и будет как раз множеством всех решений неопределенного интеграла.
Другими словами, в первом примере у Вас записано множество решений как перечисляемое решение интеграла(т.е. F(x)+C, C$\in$R), а во втором - записано в виде множества первообразных. Это все равно, что задавать, например: =k, k$\in$R или же ={k|k$\in$R}.

[AD]

gris в сообщении #280526 писал(а):

А чем плохо определение "неопределённый инттеграл это выражение $\int f(x)\,dx$, означающее любую из первообразных функции $f(x)$"?

Например, тем, что "выражение" - это объект метатеории. Сущности плодятся лишние, неудобно его считать функцией после этого.