Вычислить поток векторного поля [проверьте]

[Koftochka]

Проверьте, пожалуйста, решение этого задания:
Вычислите с помощью формулы Гаусса-Остроградского поток векторного поля \[\mathbf{a} = xz\text{i} + zy\text{j} + \frac{z^2}{2}\text{k}\[ через внешнюю сторону границы области $V$, ограниченной поверхностями \[z = 2, ~ z = \sqrt[4]{25 - x^2 - y^2}. \[
Решение:
\[\begin{gathered} V = \left\{\bigl. (x, y, z)\bigl| ~~ 2 \leqslant z \leqslant \sqrt[4]{25 - x^2 - y^2}, ~ x^2 + y^2 \leqslant 9\right\}. \hfill \\ P = xz \Rightarrow \frac{dP}{dx} = z \, \wedge \, Q = yz \Rightarrow \frac{dQ}{dy} = z \, \wedge \, R = \frac{z^2}{2} \Rightarrow \frac{dR}{dz} = z. \hfill \\ \Pi = \iiint\limits_V \left(\frac{dP}{dx} + \frac{dQ}{dy} + \frac{dR}{dz}\right) dxdydz = 3\iint\limits_{x^2 + y^2 \leqslant 9} dxdy \int\limits_2^{\sqrt[4]{25 - x^2 - y^2}} z \, dz = \hfill \\ = \frac{3}{2} \iint\limits_{x^2 + y^2 \leqslant 9} \left(\sqrt {25 - x^2 - y^2} - 4\right) dxdy = \left\{\begin{gathered} x = \rho \cos \varphi , \hfill \\ y = \rho \sin \varphi \hfill \\ \end{gathered}\right\} = \hfill \\ = \frac{3}{2} \int\limits_0^{2\pi} {d\varphi} \int\limits_0^3 \left(\rho \sqrt {25 - \rho ^2} - 4\rho\right) d\rho = 3\pi \int\limits_0^3 \rho \sqrt {25 - \rho ^2}\,d\rho - 12\pi \int\limits_0^3 \rho\,d\rho = \hfill \\ = - \frac{3\pi}{2} \int\limits_0^3 \sqrt {25 - \rho ^2}\,d\left(25 - \rho ^2\right) - 6\pi \Bigl. {\rho ^2} \Bigl|_0^3 = \Bigl. {-\pi \left(25 - \rho ^2\right)^{3/2}} \Bigl|_0^3 - 54\pi = \hfill \\ = - \pi \left(16^{3/2} - 25^{3/2}\right) - 54\pi = - \pi (64 - 125) - 54\pi = 7\pi . \hfill \\ \end{gathered}\[

Препод говорит, д.б. 8\pi.

[ShMaxG]

Koftochka в сообщении #280059 писал(а):

\Pi = \iiint\limits_V \left(\frac{dP}{dx} + \frac{dQ}{dy} + \frac{dR}{dz}\right) dxdydz =

Отсюда все верно, $7 \pi$ (проверил на компе).

[Koftochka]

Спасибо!

А пределы интегрирования нашла правильно??

[ShMaxG]

Koftochka
Вроде того.