Теория вероятности. Существует ли треугольник?

[ZooM]

Здравствуйте, помогите пожалуста решить задачу:
На отрезок [0,а] наудачу брошены три точки. Найти вероятность того что из этих отрезков, равныхрасстояниям от точки 0 до точек падения, можно составить треугольник.
Если можно то с решением, а то сам в тупике.

[ewert]

У Вас -- три независимых случайных величины (обозначьте их как-нибудь; скажем, $x$, $y$, $z$). Запишите для них систему неравенств, соответствующую требованию "можно составить треугольник".

Далее надо включить пространственное воображение. Что геометрически представляет собой пространство событий, состоящее из всех этих возможных троек? и какая часть этого пространства вырезается теми неравенствами?

[ZooM]

мы получаем систему из уравнений: x<=y+z , y<=x+z , z<=x+y . а че дальше то? и че то я не понял последнего предложения:
"Что геометрически представляет собой пространство событий, состоящее из всех этих возможных троек? и какая часть этого пространства вырезается теми неравенствами?"

[ewert]

поскольку это весьма типичное затруднение, подскажу чуть детальнее. Тройка чисел естественным образом отождествляется с точкой в трёхмерном пространстве. Какому тогда множеству в пространстве соответствует набор всех возможных для данной задачи троек?...

[ZooM]

эм... конечное счетное. вы это имеете в виду?

[ewert]

ZooM в сообщении #279319 писал(а):

эм... конечное счетное. вы это имеете в виду?

нет, конечно. И не только потому, что оно несчётно, но в первую очередь потому, что я сегодня просто не знаю в принципе, что такое счётность. О какой вообще счётности или несчётности может идти речь, когда задача -- на геометрическую вероятность?!...

[ZooM]

да я не понимаю какое решение вы предлагаете. насколько представляю если мы в R3 поставим три точки ты мы в любом случае сможем соединить их и получить треугольник в 3х мерном пространстве, только вот зачем? или я опять не туда полез?

[gris]

а Вы представьте, что эти три числа есть координаты одной точки, которая располагается в трёхмерном пространстве. То есть одно бросание трёх точек задаёт одну, совершенно другую точку, находящуюся в другом пространстве, положение которой ограничено некоторым телом. Те ограничения, которые Вы правильно написали, вырезают из этого тела часть. Надо найти соотношение объёмов этой части и всего тела.

Например, мы бросили точки и получили три числа 2;2;2. Запишем их в таком виде$(2;2;2)$ и представим, что это координаты точки в трёхмерном пространстве. Вот из этой тройки можно составить треугольник. И мы можем сказать, что точка $(2;2;2)$ хорошая. А точка $(1;1;3)$ - плохая.

[ZooM]

хм... вроде понял. только вот есть пара вопросов: как высчитать объем той части которая вырезается? и всё тело это получается куб с координатами (а,а,а) ?

[gris]

при каждом бросании тройки мы будем получать одну новую точку. Она будет или хорошей или плохой. Надо определить, в каком месте пространства соберутся хорошие точки, а в каком плохие.

Всё вместе это куб, совершенно верно. Каждое равенство $x=y+z$ задаёт плоскость, которая пересекает этот куб, а неравенство - часть куба


Каждая плоскость задаётся тремя точками. Все три плоскости проходят через начало координат. А теперь можно посмотреть - как каждая плоскость пересекает рёбра куба. Можно использовать некоторую симметрию.


И ещё надо посмотреть, что проще посчитать - объём хорошей части или же плохой

[ZooM]

так... и как находить этот объем? и здесь получается нужно сначало брать пересечение всех трех частей куба а потом только найдя эту область высчитывать её объем?

[gris]

Проще найти объём части, которая отсекается от куба. Нарисуйте чертёжик и Вы всё сразу увидите. Три непересекающиеся пирамидки.

[ZooM]

загрузон. давно это у меня было и уже вынесло из головы. сижу думаю, пытаюсь вспомнить геометрию, $x=y+z$ это плоскость перпендикулярная к оси Х и совподающая с плоскостью ZY, ну а при построении $x<y+z$ мы при фиксированном Х получаем пирамиду с вершиной в точке 0, так?

[gris]

Плоскость $x=z+y$ проходит через точки $(0;0;0),(a;0;a),(a;a;0)$, то есть через вершины куба. И отсекаемая часть это пирамидка с основанием половину грани куба и высотой в ребро куба. Всего отсекается 3 пирамидки.

[ZooM]

Всем большое спасибо,кажись всё понял, при построении и получилось так что, поставив точку именно в этих пирамидках мы не можем построить треугольник с такими координатами, и исключив их получил какой-то пятиугольный объект, объем найду,спасибо