нормальные семейства (комплексная переменная), Монтель

[Таня Тайс]

Приведу определение:
Семейство функций F, аналитических в области D, называется нормальным, если из любой постедовательности функций этого семейства можно извлечь подпоследовательность, равномерно сходящуюся в D.

Функция, к которой подпоследовательность сходится, не обязана сама принадлежать F.

В моей задаче надо доказать, что нормальное семейство функций $f \colon \mathbb{D} \to \mathbb{C}$, для которых $f(0)=0$, локально ограничено.
$\mathbb{D}$ обозначает единичный шар.

Локально ограничено -значит, у каждой точки есть окрестность, где все функции ограничены. По Монтелю, существуют нормальные семейства, не ограниченные внутри D. Значит, решающим является условие $f(0)=0$? Тогда получается, что все функции ограничены вокруг нуля, очевидно, а около других точек это просто неверно?

Помогите понять постановку задачи, пожалуйста!!! Спасибо.

[jetyb]

Таня Тайс в сообщении #277211 писал(а):

Локально ограничено -значит, у каждой точки есть окрестность, где все функции ограничены

Меня это слово очень озадачивает. Ведь к нормальному семейству функций можно добавить конечное число неограниченных функций, равных нулю в нуле(например, $1+\frac{1}{x-1}$ на $D=[0;2]$). Новое семейство останется нормальным, но оно не будет локально ограниченным.

[Таня Тайс]

Вот дословное определение с лекции:
Семейство F функций $f \colon D \to \mathbb{C}$ называется локально ограниченным, если $\forall \; z_{0} \in D \;$
$ \exists r_{0}>0 \; , \; \exists M>0$, так что $|f(z)|<M$ верно для всех $z\in D \;,\; f\in F \;,\; |z-z_{0}|<r_{0}$


jetyb
Спасибо за пример! Я спрошу завтра у преподавателя. Но в задаче у всех функций область определения $\mathbb{D}=\{|z|<1\}$. Хотя Ваш пример можно так изменить, чтобы он подходил, конечно...$f(z)=2+\frac{1}{z-0.5}$

[RIP]

Таня Тайс в сообщении #277211 писал(а):

Семейство функций F, аналитических в области D, называется нормальным, если из любой постедовательности функций этого семейства можно извлечь подпоследовательность, равномерно сходящуюся в D.

...равномерно сходящуюся внутри $D$.

На самом деле нормальность равносильна локальной ограниченности (теорема Монтеля), причём то, что из нормальности следует локальная ограниченность, вообще очевидно (обратно тоже несложно).

[Таня Тайс]

RIP
А как же понимать "локальную ограниченность"? Это верно не для всех функций, а только для функций из равномерно сходящейся подпоследовательности?

И в чём разница между "в D" и "внутри D", если D - это область, то есть граница не принадлежит D?

[RIP]

"Внутри $D$" --- это на любом компакте, лежащем в $D$. Локальная ограниченность, она же ограниченность внутри $D$, есть равномерная ограниченность на любом компакте в $D$.

[Таня Тайс]

Рада слышать, что моя задача очевидна

Попробую решить: Пусть $f_{n}$ произвольная последовательность функций из F.

Поскольку F нормальное семейство, то $\forall \; z_{0}\in \mathbb{D} \qquad \exists \; r_{0} >0$,
так что существует подпоследовательность $f_{nk}\to f$, равномерно сходящаяся на компакте $|z-z_{0}|\leqslant r_{0}$
(Для каждого компакта своя?)

Если бы $f_{nk}$ были не ограничены на $|z-z_{0}|\leqslant r_{0}$,
$f_(z)=\infty$ для какого-нибудь $z$ из $|z-z_{0}|\leqslant r_{0}$, значит этот $z$ - полюс.
Получаем противоречие с равномерной сходимостью, т.к. функции $f_{nk}$ определены на $\mathbb{D}$ и не могут иметь там полюс.

[ewert]

Таня Тайс в сообщении #277270 писал(а):

Если бы $f_{nk}$ были не ограничены на $|z-z_{0}|\leqslant r_{0}$,
$f_(z)=\infty$ для какого-нибудь $z$ из $|z-z_{0}|\leqslant r_{0}$, значит этот $z$ - полюс.

Тут, как мне кажется, какая-то путаница. Во-первых, существование такого конкретного "нехорошего" $z$ так просто (без привлечения соображений компактности $\mathbb C$) ещё не следует. Во-вторых, даже если мы её найдём -- с чего бы это именно полюс? тем более что и аналитичность-то предельной функции вообще не предполагается.

Она (аналитичность) тут и вообще не при чём. Просто из предкомпактности вообще всегда следует ограниченность по соответствующей норме (в данном случае имеется в виду равномерная норма в пределах рассматриваемой замкнутой окрестности). См.:

RIP в сообщении #277260 писал(а):

то, что из нормальности следует локальная ограниченность, вообще очевидно

[Таня Тайс]

RIP,ewert

Я уточнила у профессора, он говорит, что это неочевидно и просто неверно. Существуют нормальные семейства, которые не локально ограничены.
Поэтому необходимо ещё требовать условие

Таня Тайс в сообщении #277211 писал(а):

$f(0)=0$

Конечно, эта задача ещё осталась моей задачей, и я должна сама её решать. Я так и не поняла, что можно взять в качестве примера не_локально_ограниченной нормальной последовательности...

jetyb
Ваш пример не подходит. Функция, определённая на (всём) единичном шаре, не может иметь там особых точек, ни полюсов, ни каких-либо других.

[ewert]

Таня Тайс в сообщении #277211 писал(а):

Приведу определение:
Семейство функций F, аналитических в области D, называется нормальным, если из любой постедовательности функций этого семейства можно извлечь подпоследовательность, равномерно сходящуюся в D.

Это называется предкомпактностью относительно равномерной нормы (во всяком случае, на любой строго внутренней окрестности). А из предкомпактности всегда следует ограниченность.

Ладно, бог с ней, с предкомпактностью -- вручную. Если это семейство не ограничено на некоторой окрестности, то можно выбрать последовательность функций, для которой равномерные нормы (по этой окрестности) уходят на бесконечность. Тогда это верно и для любой её подпоследовательности. И, значит, никакая подпоследовательность не может сходиться равномерно -- т.к. из равномерной сходимости ограниченных (даже не обязательно непрерывных и уж тем более аналитических) функций следовала бы их равномерная ограниченность.

Непонятно, что пытался сказать ваш профессор.

[Таня Тайс]

ewert в сообщении #277713 писал(а):

Непонятно, что пытался сказать ваш профессор.

Вот что: в комплексном случае разрешается сходимость к бесконечности. Например, последовательность $f_{n}(z)=n$ нормальна, она сама равномерно сходиться внутри $\mathbb{D}$ к бесконечности. Нормальна и неограничена $f_{n} \to \infty$
Чтобы этому воспрепятствовать, можно требовать, чтобы $f(0)=0$.

В-общем, вопрос решён. Спасибо за помощь.

[ewert]

Таня Тайс в сообщении #279202 писал(а):

Вот что: в комплексном случае разрешается сходимость к бесконечности.

А, ну я этого не знал. Тогда да.