Гипотеза Эйлера

[maxal]

maxal в сообщении #278541 писал(а):

По крайней мере, из abc-гипотезы следует

Руст меня поправил, что abc-гипотеза применима только к случаю двух неизвестных слева (хотя мне казалось, что кто-то обобщал и на большее число).
На самом деле конечность числа решений здесь - эвристический результат, который точнее формулируется так: уравнение

$$x_1^{n_1} + x_2^{n_2} + \dots + x_k^{n_k} = y^m$$

с большой вероятностью имеет лишь конечное количество натуральных решений при $\frac{1}{n_1} + \dots + \frac{1}{n_k} + \frac{1}{m} < 1$, и бесконечное количество при $>1$.
Здесь речь идёт в каком-то смысле о "неупрощаемых" уравнениях (в частности, в смысле этого приёма), в которых нельзя так или иначе понизить показатели степеней. Например, уравнения с $n_1=n_2=\dots=n_k=m$ попадают в эту категорию.

[maxal]

maxal в сообщении #158358 писал(а):

Теперь понятно, что в книге Серпинского банальная опечатка - вместо $10^8$ должно быть $10^4$. А Ward, скорее всего, не виноват

А ведь по большому счёту возможна ситуация, что такая опечатка отбила у кого-то желание искать контрпример. Вполне возможно, что если бы опечатки не было, то и контрпример был бы найден раньше.

Оказывается, опечатка из перевода Серпинского затем благополучно перекочевала в Квант:
http://kvant.mccme.ru/1980/06/o_diofantovom_analize.htm
и наверняка еще много куда. Неприятная история.

[grisania]

sceptic в сообщении #158400 писал(а):

Я имел ввиду польское издание (на польском языке). Мне почему-то показалось, что shwedka говорила о нем.
------------------

На польском есть Teoria liczb, Wacław Sierpiński
http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?to ... =10&jez=pl
В списке Kolekcja Matematyczna. Monografie Matematyczne есть на польском еще ссылка на книгу:
Teoria liczb II W. Sierpiński, том 38.
Это наверно продолжение, но самой книги нет.

PS.
Читать "Elementary theory of numbers", по ссылке, указанной maxal себе дороже,
http://www.dleex.com/details/?4681
Ибо качество скана ужасное. Лучше читать
http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?to ... =10&jez=pl
В Adobe Acrobat 9 Pro Extended можно слить pdf файлы в один, также можно сделать распознавание текста Document->OCR Text Recognition.
Можно уменьшить размер слитого pdf файла Document->Optimize Scanned PDF. Получается нормальный pdf файл после всех этих процедур

[age]

maxal
Я уже начал искать решения $x^6+y^6+z^6+p^6=q^6$. Просто мощности Core 2 Duo катастрофически не хватает. Для перебора всего одного единственного варианта $q^6-p^6$ требуется около десяти часов времени. Плюс задача еще очень осложняется тем, что решений для $q<110000$ быть не может. А $110000^6$ - минимальное решение дает аж 30-значное число. В то время как вещественная точность вычислений арифметических операций не превышает $10^{19}$. Т.е. обычным запрограммированием здесь не обойтись. Необходимы спецметоды, повышающие точность вычислений. А при этом на порядки и порядки начинает падать производительность. (в сотни раз).
Но и это теория. На практике думаю меньше миллиарда решений нет. А $(10^9)^6=10^{54}$ - тут уже любая техника бессильна.

Поэтому перспектив пока не вижу.

-- Сб янв 09, 2010 13:24:25 --

Может будет полезным. Информация по уравнению $x^6+y^6+z^6+p^6=q^6$.
1. По малой теореме Ферма три числа в левой части обязательно делятся на $7$. Отсюда $(q\pm p)\div7^6=117649$. Отсюда меньших решений нет.

2. То же самое следует по модулю $3$: три числа в левой части обязательно делятся на $3$. Откуда с учетом п.1 $(q\pm x)\div3^6=729$.

3. $(q\pm p)$ либо $(q\pm x)$ делятся на $16$.

Если эти знания просуммировать, то перебор существенно сокращается. Однако этого все равно недостаточно.

[maxal]

age
По поводу точности вычислений - воспользуйтесь PARI/GP и навсегда забудьте проблемы подобного рода в теоретико-числовых расчётах.
По поводу оптимизации перебора в поиске решений - посмотрите на статью:
Daniel J. Bernstein. Enumerating solutions to p(a)+q(b)=r(c)+s(d). Mathematics of Computation 70 (2001), 389-394.

[age]

maxal
Спасибо! Уже начал.