Пространства

[TGX]

Пожалуйста помогите разобраться!!!!
Изучая теорию сигналов, где основные выкладки рассматриваются в Гильбертовом пространстве функций-векторов (сигналов), я обнаружил недопонимание данного понятия "пространство"!!! Не имея много свободного времени на изучение, воспользовался ресурсом Wikipedia.

Как я понял, пространство (понятие почему-то неразрывно употребляют с прилагательными "линейное" или "векторное" - других, что не бывает?) - есть множество, на котором заданы операции 1. сложения (коммутативность и ассоциативность соблюдается) 2. умножение на скаляр, а ещё введён нейтральный для операции сложения элемент. Это как я понял, базовое, определяющее понятие.

Затем вводят для данного понятия доопределения, сужающие его до того или иного вида:
1. Норма (функционал на множестве, удовлетворяющий 3-м аксиомам. По сути "длина" вектора в данном векторном пространстве) - отсюда нормированное пространство.
2. Метрика (функционал на множестве, удовлетворяющий 3-м аксиомам. аналог "расстояния") - отсюда метрическое пространство.
3. Топология (видимо определённая структура пространства-с этим понятием у меня проблемы) - отсюда топологическое пространство.
4. Базис (подмножество пространства линейно независимых векторов)

А вот отсюда... используя понятие топологического пространства, и выделяя те или иные свойства, их классифицируют далее:

1. Банахово (нормированное пространство, полное по метрике, которая порождается нормой). Что значит полное по метрике?
2. Гильбертово (это всё тоже Банахово пространство, с нормой и соответственно метрикой, порождаемой скалярным произведением)
3. Евклидово (по сути тоже Гильбертово пространство, но не допускающее бесконечной мерности)
.... и т.д.

Я всё верно понял? Если что-то не так, буду благодарен, если вы мне укажите на ошибки и ответите на вопросы...

Спасибо!!!

[AD]

Всё, что Вам нужно, есть в хорошей книжке - Колмогоров, Фомин "Элементы теории функций и функционального анализа". Это очень приятная книжка, её можно читать вместо художественной литературы, в метро или в маршрутке.

Мы тут можем поправить Вас в некоторых местах, но, к сожалению, пересказывать учебник тут вряд ли кто возьмётся - занятие утомительное и неблагодарное.

Есть такая наука - абстрактная алгебра, в ней вводятся всякие разные "алгебраические системы" - группы, кольца, линейные (они же векторные пространства), и еще ну полно всяких. Есть такая наука - топология, в ней вводятся тоже всякие структуры, но другого сорта - топологические пространства, метрические пространства, ...

Векторное пространство - это такая алгебраическая система, изучением которой занимается наука линейная алгебра. Задать векторное пространство - значит задать множество $V$ (элементы которого мы впоследствии назовем векторами, хотя сейчас это могут быть, грубо говоря, бублики с маком; ну то есть природа их не существенна) и указать операции, тип которых Вам уже известен (то есть операция сложения, по двум векторам вычисляющая третий вектор) и операция умножения, которая по вектору и числу вычисляет другой вектор. И это должны быть не абы какие операции, а удовлетворяющие определенным требованиям (их список известен, их штук 8, ну прочитаете где-нибудь, если захотите). Ну то есть если взять $V=\mathbb{R}$ и объявить $x+y=0$, $\alpha x=0$ для всех $x,y,\alpha$, то операции-то заданы, но векторным пространством это не будет - аксиомы не выполнятся (и кстати выполняется всё, что Вы перечислили, но не всё, что на самом деле нужно).

Линейные пространства замечательны тем, что их можно полностью классифицировать. А именно, все пространства данной размерности не различимы между собой. Причем это относится и к бесконечным размерностям - то есть к мощностям базиса.

Топологические и метрические пространства к линейным никакого отношения не имеют. Топология - это такая мегаабстрактная штука, там за основу берется понятие "открытое множество", в двух словах не объяснишь. Главное, поверьте, что всякая метрика задаёт топологию естественным образом - открытым называется множество, которое каждую точку содержит вместе с некоторым шариком, и типа так введенные открытые множества действительно образуют топологию.

Полнота - это понятие, повязанное на метрике (на самом деле можно иногда и без метрики, но Вы лучше считайте пока, что нужна метрика). Полнота - это когда можно пользоваться критерием Коши сходимости последовательности. Помните такой? Вот те метрические пространства, в которых этот критерий работает, называются полными, и они типа офигенно хороши.

Дальше Вы погружаетесь в науку под названием "функциональный анализ", в которой, помимо сложения векторов и умножения на число, есть еще представления о близости векторов. Начинается всё с топологического линейного пространства - простейший объект интересов функционального анализа. Это одновременно линейное и топологическое пространство, с некоторой связью (то есть еще парочка дополнительных аксиом).

Нормированное пространство - это когда норма введена, ну это Вы вроде понимаете. Теперь поймите, что всякая норма - это уже почти метрика (то есть введение метрики по правилу $\rho(x,y)=\|x-y\|$ всегда законно - аксиомы устроены так, что если $\|\cdot\|$ - норма, то $\rho$ - метрика). Следовательно, нормированное пространство всегда является топологическим - это мы уже проходили. И еще следовательно, что можно говорить о полном нормированном пространстве, то есть о банаховом пространстве.

Евклидовость (ну кто как это слово понимает; я сейчас для простоты изложения скажу не так, как Вы думали) означает наличие скалярного произведения - то есть такой положительной билинейной функции на векторах. Скалярное произведение порождает норму по правилу $\|x\|=(x,x)$, поэтому можно говорить о полном евклидовом пространстве, которое в этом случае и называется гильбертовым.

Но на самом деле это всё не важно, потому что Вы скорее всего будете работать с вполне конкретным гильбертовым пространством, называемом $L^2$, и состоящим из интегрируемых в квадрате по Лебегу, а скалярное произведение задаётся при помощи интеграла Лебега: $(f,g)=\int f(x)g(x)\,dx$. Можете отдельно почитать про интеграл Лебега. Он лучше интеграла Римана как раз тем, что только с его помощью пространство $L^2$ удаётся сделать полным; за это его все и любят.

Ладно, я тут уже рекорды по скоропечатанию ставлю, прогоняют меня посуду мыть )))
Ну как-то так в-общем. Пусть такое введение будет хоть одно на весь интернет

[TGX]

Хм... полистал Колмогорова... и правда приятная книга =) Даже с картинками! Огромное спасибо... Не ожидал столь развёрнутого ответа!!!