Вычислить сумму

[Руст]

Вычислить сумму:

$$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{(3n+1)(3n+2)}.$$

[maxal]

Пусть

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3n+2}}{(3n+1)(3n+2)}.$$

Тогда

$$f''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} x^{3n} = \frac{1}{1-x^3}.$$

Поэтому

$$f(1) = \int_0^1 dy \int_0^y \frac{dx}{1-x^3} = \frac{\sqrt{3}}{9}\pi.$$

[maxal]

Другой способ. Пусть

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3n+1}}{3n+1} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3n+2}}{3n+2}.$$

Тогда искомая сумма равна $f(1).$

Мультисекция ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x)$ дает формулу

$$f(x)=-\frac{1}{3} \sum_{j=1}^2 \ln(1-w^j x) (w^{-j}-w^{-2j}),$$

где $w=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ - корень 3-й степени из 1. Поэтому

$$f(1)=i \frac{\sqrt{3}}{3} (\ln(1-w) - \ln(1-w^2)) = -i \frac{\sqrt{3}}{3} \ln(1+w) = \frac{\sqrt{3}}{9} \pi.$$

[Woland]

maxal проясните пожайлуста, откуда взялся интеграл:

$$f(1) = \int_0^1 dy \int_0^y \frac{dx}{1-x^3} = \frac{\sqrt{3}}{9}\pi.$$

и почему у него такие странные пределы?

[maxal]

Woland писал(а):

maxal проясните пожайлуста, откуда взялся интеграл:

$$f(1) = \int_0^1 dy \int_0^y \frac{dx}{1-x^3} = \frac{\sqrt{3}}{9}\pi.$$

и почему у него такие странные пределы?

В чуть более общем виде можно утверждать, что если $f(0)=f'(0)=0$, то

$$f(a)=\int_0^a dy \int_0^y f''(x) dx.$$

Дело в том, что

$$\int_0^y f''(x) dx = f'(y) - f'(0) = f'(y)$$

и

$$\int_0^a f'(y) dy = f(a) - f(0) = f(a).$$

[Woland]

maxal писал(а):

Woland писал(а):

maxal проясните пожайлуста, откуда взялся интеграл:

$$f(1) = \int_0^1 dy \int_0^y \frac{dx}{1-x^3} = \frac{\sqrt{3}}{9}\pi.$$

и почему у него такие странные пределы?

В чуть более общем виде можно утверждать, что если $f(0)=f'(0)=0$, то

$$f(a)=\int_0^a dy \int_0^y f''(x) dx.$$

Дело в том, что

$$\int_0^y f''(x) dx = f'(y) - f'(0) = f'(y)$$

и

$$\int_0^a f'(y) dy = f(a) - f(0) = f(a).$$

Спасибо maxal но я хотел спросить не со всем это. Я хотел узнать, почему
первоначальную сумму, мы имеем право заменить интегральной суммой т.е.
почему они в данном случае должны совпадать? Ведь не во всех же случаях
мы можем вытащить функцию из под знака бексконечной суммы и засунуть её
под знак интеграла?

[maxal]

Woland писал(а):

Я хотел узнать, почему
первоначальную сумму, мы имеем право заменить интегральной суммой т.е.
почему они в данном случае должны совпадать?

Это следует из равномерной сходимости ряда, определяющего $f(x)$.

[незваный гость]

Woland писал(а):

интегральной суммой

Это корректный термин в данном случае? Мне кажется — нет, но поправьте меня, пожалуйста.

[Someone]

незваный гость писал(а):

:evil:

Woland писал(а):

интегральной суммой

Это корректный термин в данном случае? Мне кажется — нет, но поправьте меня, пожалуйста.

Конечно, некорректный. Тут применяется метод суммирования Пуассона - Абеля, в котором ряду $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ приписывается сумма, равная $\lim\limits_{x\to 1^-}\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kx^k$. А двукратное дифференцирование с последующим двукратным интегрированием используются для вычисления суммы степенного ряда.

[незваный гость]

Спасибо. Мне просто показалось, что вопрос Wolandа неправильно понят из-за терминологии.