выпуклый четырёхугольник

[Pifi]

Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике ABCD средняя линия, соединяющая середины противоположных сторон AB и CD, проходит через точку пересечения диагоналей, то данный четырёхугольник является параллелограммом или трапецией.

Обозначил точку пересечения диагоналей через О.
Будут ли треугольники АВО и СDO подобными?

[Cave]

Запишите отношение площадей $\bigtriangleup ABO$ и $\bigtriangleup CDO$ тремя способами, учитывая, что медиана делит площадь треугольника пополам.
Они будут подобными.

[Pifi]

Cave в сообщении #276934 писал(а):

Запишите отношение площадей $\bigtriangleup ABO$ и $\bigtriangleup CDO$ тремя способами, учитывая, что медиана делит площадь треугольника пополам.
Они будут подобными.

тремя способами это как?

$\frac{S_{\Delta ABO}}{S_{\Delta CDO}}=\frac{\frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO \cdot\sin \angle AOB}{\frac{1}{2}\cdot CO \cdot DO \cdot\sin \angle COD} =?$

И еще, если треугольники AOB и CDO подобны, то следует ли отсюда $AB \| CD $?

[Cave]

Про углы $AOB$ и $COD$ что можете сказать? Про площади маленьких треугольников, на которые средняя линия четырёхугольника разбивает треугольники $AOB$ и $COD$? Про углы подобных треугольников? Про признаки параллельности прямых?

[ewert]

Пусть $\vec a$ и $\vec b$ -- отрезки диагоналей (до точки пересечения), примыкующие к нижнему основанию и $\alpha\vec a$, $\beta\vec b$ -- отрезки, примыкающие к верхнему. Тогда соответствующие отрезки средней линии -- это ${1\over2}(\vec a+\vec b)$ и ${1\over2}(\alpha\vec a+\beta\vec b)$. Они параллельны, т.е. пропорциональны: $\gamma(\vec a+\vec b)=\alpha\vec a+\beta\vec b$. Такое возможно только при $\alpha=\beta$ -- ведь сами-то $\vec a$ и $\vec b$ не параллельны. Но тогда и основания ($\vec a-\vec b$ и $\alpha\vec a-\alpha\vec b$) -- тоже пропорциональны, т.е. параллельны.

[Sasha2]

А можно и так.
Если M - середина стороны AB, то OM - медиана треугольника AOB, но OM и биссектриса (по свойству биссектрисы делить соответствующую сторону на отрезки пропорциональные сторонам, к которым она прилегает, а также с учетом того, что на любом отрезке существует одна и только одна точка, которая делит данный отрезок в данном отношении).
А следовательно треугольник AOB, равно как и COD - равнобедренный. И у этих двух треугольников углы при вершинах равны, как вертикальные, а далее дело техники.

[ewert]

Ну какая ж она биссектриса.

Но вот что можно. Доказать вспомогательное утверждение: если есть угол с вершиной в точке О и точка М внутри него, то существует ровно один способ выбора отрезка АВ с концами на сторонах угла, при котором отрезок ОМ будет медианой.

И поскольку разворот нижнего основания в положение, параллельное верхнему, оставляет линию средней -- то разворачивать и не придётся.

---------------------------------------
А ещё можно достроить треугольники сверху и снизу до двух подобных параллелограммов. Средняя линия превратится в их общую диагональ и т.д.. Наверное, так даже лучше всего, только рисунок более громоздкий.

[Sasha2]

Ну так об этом то и речь, что если между сторонами некоторого угла провести прямую p, которая не является его биссектрисой, то тогда любая прямая, проведенная через некоторую точку прямой p (если O - точкая через которую эта прямая проведена, а A и B - точки пересечения этой прямой со сторонами данного угла), то тогда середина AB не будет биссектрисой, если OA=OB.

[Pifi]

Cave в сообщении #276976 писал(а):

Про углы $AOB$ и $COD$ что можете сказать? Про площади маленьких треугольников, на которые средняя линия четырёхугольника разбивает треугольники $AOB$ и $COD$? Про углы подобных треугольников? Про признаки параллельности прямых?

Пусть $M$ и $N$ соответственно середины отрезков $AB$ и $CD$.
Углы $ AOB$ и $ COD$ будут равными.
Площади маленьких треугольников, на которые средняя линия четырёхугольника разбивает треугольники $AOB$ и $COD$ так же будут равными, т.е. $S_{\Delta AOM}=S_{\Delta BOM}$ и $S_{\Delta CON}=S_{\Delta DON}$. Но вроде отсюда же не следует подобие треугольников $\Delta AOB$ и $\Delta DOC$?

[Cave]

Pifi
Пока нет, теперь вернитесь к тому, что я написал в первом сообщении: запишите отношение площадей тремся способами. Потом приравняйте, сделайте из этого вывод.

[Pifi]

Cave в сообщении #277921 писал(а):

Pifi
запишите отношение площадей тремся способами

вот это мне и не очень понятно.

1 способ
$\frac{S_{\Delta ABO}}{S_{\Delta CDO}}=\frac{\frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO \cdot\sin \angle AOB}{\frac{1}{2}\cdot CO \cdot DO \cdot\sin \angle COD}=\frac{ AO \cdot BO}{CO \cdot DO }$ т.к. $\angle AOB=\angle COD$;

2 способ
$\frac{S_{\Delta ABO}}{S_{\Delta CDO}}=\frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_1 }{\frac{1}{2}\cdot CD \cdot h_2}=\frac{AB \cdot h_1 }{CD \cdot h_2}$;

3 способ
?

[ewert]

Госсподи, да нарисуйте же Вы напрашивающиеся параллелограммчики -- $AOBP$ и $CODQ$. И докажите, что они подобны. Всё сразу станет очевидным.

[Cave]

Pifi
Нет, я имел в виду, что $\frac {S_{\Delta AOB}}{S_{\Delta COD}} = \frac {S_{\Delta AOM}}{S_{\Delta CON}} = \frac {S_{\Delta BOM}}{S_{\Delta DON}}$.

[Pifi]

ewert в сообщении #277937 писал(а):

Госсподи, да нарисуйте же Вы напрашивающиеся параллелограммчики -- $AOBP$ и $CODQ$. И докажите, что они подобны. Всё сразу станет очевидным.

т.е. параллелограммы $AOBP$ и $CODQ$ будут подобны, т.к. у них все углы равны. Следовательно, треугольники $ABO$ и $CDO$ тоже будут подобны. Из равенства углов, например, $ABO$ и $CDO$, получаем, что $AB \| CD$. Т.о., $ABCD$ - трапеция. Можно ли считать, что доказательство полное? или еще надо доказывать, что $ABCD$ м.б. и параллелограммом?

[ewert]

Pifi в сообщении #278194 писал(а):

т.е. параллелограммы $AOBP$ и $CODQ$ будут подобны, т.к. у них все углы равны.

Нет, равенства только углов недостаточно, нужно ещё и равенство соотношений сторон. Но вот что очевидно -- что подобны боковые треугольники в этих параллелограммах, $OAP$ и $QDO$ (по трём параллельным сторонам). А тогда уж и параллелограммы в целом подобны -- и, следовательно, подобны и треугольники $AOB$ и $COD$, и потому $AB$ параллельно $CD$.

Pifi в сообщении #278194 писал(а):

или еще надо доказывать, что $ABCD$ м.б. и параллелограммом?

Зачем? Слова "параллелограмм или трапеция" ровно и означают, что какие-либо две противоположные стороны параллельны, не более и не менее.