Аналитическая геометрия, нахождение вершин треугольника

[cherep36]

Задача:
— Найти координаты треугольника, если даны координаты одной его вершины А{2;1}, и уравнения его медиан:
$7x-20y+22=0 $ и $ x+4y-22=0 $

Мои мысли:

Нужно найти длину медианы до противолежащей точке А стороны треугольника, путём нахождения пересечения медиан(она будет {$ \frac{22}{3} $;$ \frac{11}{3} $), и расстояния между точкой пересечения и точкой А, а так как в точке пересечения медианы делятся в отношении 1:2, то можно узнать длину этой медианы и соответственно точку противоположной стороны треугольника, но чтобы составить уравнение прямой нужно найти вторую точку, как найти высоту? и я думаю в том направлении?

[Cave]

Может, для основания медианы $M$ на одной прямой и вершины $B$ на другой записать, что $M$ - середина $AB$, и для другой пары аналогично?

[cherep36]

что значит для другой пары? для высоты? так как её найти?

[ewert]

cherep36 в сообщении #277688 писал(а):

что значит для другой пары? для высоты? так как её найти?

Примерно вот что. У Вас две неизвестных вершины -- В и С. Т.е. четыре неизвестных. Значит, нужны четыре уравнения. Два у Вас уже есть -- это принадлежность каждой из точек своей медиане. А ещё два -- это принадлежность "альтернативным" медианам середин отрезков АВ и АС.

И ни в коем случае не следует выписывать никаких длин. Даже думать об этом не следует!

[cherep36]

Эммм, что значит «альтернативные» медианы?) и как найти эти 2 уравнения ?

[AKM]

Медианы обозначим $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$. Две последних Вам известны (потому что Вы уже убедились, что точка А заданным двум прямым не принадлежит).
Также обозначим $B=(x_2,y_2)$, $C=(x_3,y_3)$.
$B_1=\frac12(A+C)=(?,?)$, $C_1=\frac12(A+B)=(?,?)$. Потому что это медианы!

Вам предлагают записать уравнения:
точка $B$ принадлежит медиане $BB_1$;
точка $C$ принадлежит медиане $CC_1$;
точка $B_1$ принадлежит медиане $BB_1$;
точка $C_1$ принадлежит медиане $CC_1$.

[cherep36]

Ну получается чтобы найти $B_1 $ и $ C_1 $, нужно составить уравнения перпендикуляра от точки А к уравнениям медиан, то есть:
Чтобы найти уравнение перпендикуляра к медиане $7x-20y+22=0 $
нужно привести её к виду $ y=kx+b$, где $k=-\frac{1}{a} $ → $ y=-\frac{1}{7}x+b $, подставляем вместо x и y значение точки А и получаем что $b=\frac{9}{7} $
в итоге уравнение перпендикуляра → $ -\frac{1}{7}-y+\frac{9}{7}=0$

$ \left\{ \begin{array}{c}7x-20y+22=0\\ -\frac{1}{7}x-y+\frac{9}{7}=0 \\\end{array} $

и так с другой медианой, получается $ B_1=\{\frac{167}{24};\frac{85}{69}\} $ , а $ C_1=\{ \frac{34}{3};-\frac{25}{3} \}$
Теперь вопрос, что значит $ B_1=\frac{1}{2}(A+C) ? $, это значит что $ A+C = B_1 * 2 $ ? Ну тут опять получается что найду длину стороны, а как потом вычислить координаты?

[ewert]

cherep36 в сообщении #277793 писал(а):

нужно составить уравнения перпендикуляра

да какое отношение перпендикуляры вообще имеют к медианам-то?...

cherep36 в сообщении #277793 писал(а):

Теперь вопрос, что значит $ B_1=\frac{1}{2}(A+C) ? $,

Это -- жаргонная (т.е. формально некорректная, но вполне естественная) запись того, что координаты середина отрезка -- это полусуммы координат его концов. Причём один конец задан по условию, а второй -- это две неизвестных, для которых и надо составлять уравнения.

cherep36 в сообщении #277793 писал(а):

Ну тут опять получается что найду длину стороны,

Забудьте о длинах. Забудьте (в этой задаче), что вообще существует такое понятие, как длина.

[cherep36]

Тогда я совсем не понимаю на основе чего составлять уравнения, подтолкните хотя бы теорией.

[AKM]

cherep36 в сообщении #277793 писал(а):

Теперь вопрос, что значит $ B_1=\frac{1}{2}(A+C) ? $,

Это значит следующее. Если $A=(2,1)$ и $C=(x_3,y_3)$, то серединка $ B_1=\dfrac{1}{2}(A+C)=\left(\dfrac{2+x_3}{2},\dfrac{1+y_3}{2} \right) $.

-- Вт янв 05, 2010 22:55:08 --

Какая теория? Точка $B=(x_2,y_2)$ принадлежит прямой $7x-20y+22=0$. Ка записать этот факт в виде уравнения? А так: $7x_2-20y_2+22=0$. Аналогично и с остальными точками-прямыми.

(А если бы не принадлежала? Тогда было бы так: $7x_2-20y_2+22\not=0$).

[cherep36]

Ну получилось это уравнение $ 7x_2-20y_2+22=0 $, ну а как эти x и y найти то? просто подставлять в уравнение пока не совпадёт с нулём? и как определить что это будут те самые x и y, а не какой нибудь другой точки?

[AKM]

Вам предлагают записать четыре уравнения с четырьмя неизвестными $x_2,y_2,x_3,y_3$:

AKM в сообщении #277707 писал(а):

точка $B$ принадлежит медиане $BB_1$;
точка $C$ принадлежит медиане $CC_1$;
точка $B_1$ принадлежит медиане $BB_1$;
точка $C_1$ принадлежит медиане $CC_1$.

А потом предложат решить эту систему и найти эти неизвестные.

Кстати, Вы ведь именно их хотели, когда малость нескладно писали задачу:

cherep36 в сообщении #277681 писал(а):

Задача:
— Найти координаты треугольника, ...

Да? Их? Координаты вершин треугольника?

[cherep36]

чёрт, опечатался незаметил, да именно их нужно найти, вершины

-- Вт янв 05, 2010 23:30:24 --

То есть все действия сводятся к решению системы:
$ \left \{ \begin{array}{c} 7x_2-20y_2+22=0\\ x_3+4x_3-22=0 \\\end{array} $
так получается ?

[AKM]

Короче, выписываем (в данном случае переписываем) координаты точки $B_1$, и записываем тот фактик (уравнение), что она принадлежит прямой $7x-20y+22=0$.

-- Вт янв 05, 2010 23:34:26 --

cherep36 в сообщении #277818 писал(а):

так получается ?

Ещё два уравнения надо наковырять.

[cherep36]

Так те точки $ B_1 $ и $ C_1 $ неправильно посчитаны, там и правда не перпендикуляр(это было бы наверное верно если был равностороний треугольник) нужно опускать на медиану. тогда как найти эти точки?