Наибольший общий делитель бинома

[age]

maxal
Действительно! Спасибо. Здорово.
Теперь если экстраполировать на $p>11$, то вашу задачу можно считать решенной.

[Sonic86]

maxal писал(а):

Меня заинтересовал следующий "феномен":
Существует очень много попарно взаимно-простых троек $x<y<p$, где $p$ - простое, удовлетворяющих делимости $p^5 | (x+y)^p-x^p-y^p$ (в частности, даже при $p$ не делящем $x+y$), но вот ни одной тройки с делимостью на $p^6$ пока что найти не удалось.
Есть ли этому простое объяснение?

Обязательно $x,y<p$? Если существует хотя бы одна пара $(x,y)$, удовлетворяющая соотношению, то пара $(t^px,t^py)$ тоже ему удовлетворяет, причем чисел $t^p$ в $\mathbb{Z} / p^a \mathbb{Z}$ ровно $p^{a-1}(p-1)$. Так что если для некоторого $a$ существует хотя бы одно решение, то существует хотя бы $p^{a-1}(p-1)$ решений. Вполне вероятно, что среди этих решений будут и те, для которых $x,y<p$.
Почему $a \leq 5$ действительно непонятно...

[Sonic86]

(фигня удалена)

[Sonic86]

Уравнение $(x+y)^p-x^p-y^p \equiv 0 (\mod p^a)$ при $a \geq 3$ имеет решения $x \equiv 0 (p^a)$ или $y \equiv 0 (p^a)$ или $x+y \equiv 0 (p^a)$ или $x \equiv \rho y (p^a)$, где $\rho: \rho^3 \equiv 1 (p^a), \rho \neq 1$. Почему нет других решений, не доказал. В результате при $a \geq 6, \rho > p^2$ и поэтому при $x,y < p$ сравнение $x \equiv \rho y (p^a)$ решений не имеет.

При $a=2$ есть другие решения, разбивающиеся на 6-членные циклы (обычно один цикл, реже - 2). Соответствующие простые: 59; 79; 83; 179; 193; 227; 337; 421; 443; 457; 547; 601; 619; 691; 701; 757; 787; 857; 877; 887; 907; 911; 929; 971; 977. Почему именно такие простые