Найти критерий изоморфизма

[SSV]

Доброго времени суток, помогите разобраться:

Найти критерий изоморфизма групп $Z_{m}\oplus Z_{n}$ $Z_{s}\oplus Z_{t} $
операция задана покомпонентно:

$(x_{1},y_{1})\oplus(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$

Первая компонента идёт по модулю первой группы, вторая - по модулю второй группы

Понял, что необходимым условием является $m*n=s*t$. Можнт быть оно является и достаточным? Сначала думал что $Z_{m}\oplus Z_{n} \simeq Z_{mn}$ (изоморфно), но оказалось что это неправда, как дальше решать не представляю

[Профессор Снэйп]

SSV в сообщении #275957 писал(а):

Сначала думал что $Z_{m}\oplus Z_{n} \simeq Z_{mn}$ (изоморфно), но оказалось что это неправда

Это правда тогда и только тогда, когда числа $m$ и $n$ взаимно просты.

Отсюда, кстати, легко следует критерий, который Вы ищете Раскладываете числа $m$, $n$, $s$ и $t$ в произведение степеней простых, через них разлагаете $\mathbb{Z}_n \oplus \mathbb{Z}_m$ и $\mathbb{Z}_s \oplus \mathbb{Z}_t$ на слагаемые вида $\mathbb{Z}_{p^k}$ для простых $p$ и смотрите, совпадают ли разложения (с точностью до перестановки слагаемых).

[SSV]

Профессор Снэйп в сообщении #275999 писал(а):

SSV в сообщении #275957 писал(а):

Сначала думал что $Z_{m}\oplus Z_{n} \simeq Z_{mn}$ (изоморфно), но оказалось что это неправда

Это правда тогда и только тогда, когда числа $m$ и $n$ взаимно просты.
А как доказать этот изоморфизм? В упор не вижу его.

[Профессор Снэйп]

SSV в сообщении #276071 писал(а):

А как доказать этот изоморфизм? В упор не вижу его.

Если $m$ и $n$ взаимно-просты, то элемент $\langle 1,1 \rangle$ группы $\mathbb{Z}_m \oplus \mathbb{Z}_n$ имеет порядок $mn$. В самом деле, если $0 \leqslant s < mn$, то $s$ не может одновременно делиться и на $m$, и на $n$, так что $\langle s,s \rangle \neq \langle 0,0 \rangle$ в $\mathbb{Z}_m \oplus \mathbb{Z}_n$. Так что вот он, Ваш изоморфизм: элементу $s \in \{ 0, \dots, mn-1 \}$ группы $\mathbb{Z}_{mn}$ сопоставляет элемент $\langle u(s), v(s) \rangle$, где $u(s)$ и $v(s)$ --- остатки от деления числа $s$ на числа $m$ и $n$ соответственно.

Ну а если $\text{НОД}(m,n) = a > 1$ и $b = mn/a = \text{НОК}(m,n)$, то порядок любого элемента группы $\mathbb{Z}_m \oplus \mathbb{Z}_n$ делит $b$, чего нельзя сказать про образующую циклической группы $\mathbb{Z}_{mn}$.

[SSV]

Профессор Снэйп в сообщении #275999 писал(а):

SSV в сообщении #275957 писал(а):

Отсюда, кстати, легко следует критерий, который Вы ищете Раскладываете числа $m$, $n$, $s$ и $t$ в произведение степеней простых, через них разлагаете $\mathbb{Z}_n \oplus \mathbb{Z}_m$ и $\mathbb{Z}_s \oplus \mathbb{Z}_t$ на слагаемые вида $\mathbb{Z}_{p^k}$ для простых $p$ и смотрите, совпадают ли разложения (с точностью до перестановки слагаемых).

А можно поподробнее про то если разложения не совпадают, то почему не изоморфны?

[Профессор Снэйп]

SSV в сообщении #276309 писал(а):

А можно поподробнее про то если разложения не совпадают, то почему не изоморфны?

Потому что разложение единственно (с точностью до перестановки слагаемых).