Помогите решить задачу на эллипс

[a-next]

Всем привет.
Данную задачу задали как зачетную в ВУЗе, по геометрии. Уже вторую неделю пытаюсь каким либо образом ее решить, но у меня получается бред: либо этот эллип - гипербола (по эксцентриситету) либо его большая полуось имеет отрицательную длину. Причем такие результаты не только у меня одного.
Пожалуйста, помогите разобраться, что к чему! =(

Цитата:

Составить уравнение эллипса, если оси эллипса параллельны осям координат, точки A(4; 0) и B(0; 4) принадлежат эллипсу, и точка В находится на расстоянии 3\sqrt2 от одного из фокусов, и на расстоянии 6 от соответствующей директрисы.

[AKM]

Подозреваю (не дав себе труда порешать), что Ваш эллипс вытянут по вертикали, а Вы его рассматриваете как вытянутый канонически-горизонтально.

Не помня наизусть всех формул, замечу также, что отрицательные значения эксцентриситета в ряде задач работают вполне нормально, как соотв. положительные (кажется, в полярном уравнении). Если они возникают, например, как решения каких-то квадратных уравнений, не стоит их бездумно отбрасывать.

-- Пн дек 28, 2009 14:46:25 --

Ваши попытки решения не помешали бы для более плодотворной дискуссии.

[a-next]

Цитата:

отрицательные значения эксцентриситета в ряде задач работают вполне нормально

Я не говорил, что эксцентриситет отрицателен. Он просто больше единицы.

У меня получалась огромная система уравнений, которую я решал:

$\frac{(4-x_{0})^2}{a^2} + \frac{(y_{0})^2}{b^2} = 1$ $\frac{(x_{0})^2}{a^2} + \frac{(4 - y_{0})^2}{b^2} = 1$ $(ae + x_{0})^2 + (4 - y_{0})^2 = 18$ $\frac{a^2}{\sqrt(a^2 - b^2)} + x_{0} = 6$

$\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2 - b^2}} + x_{0} = 6$: поправил запись кв. корня(АКМ).

[AKM]

Я тоже не говорил, что он отрицательный: я говорил типа "если вдруг случится --- не выбрасывайте".
Ну попробуйте принять мой гипотезу, что эллипс вытянут по вертикали, $b>a$.
Тогда в Вашей последней формуле должно быть по крайней мере $\sqrt{b^2-a^2}$. Пишется \sqrt{....}
Глубже формулы проверить пока не могу.

-- Пн дек 28, 2009 15:40:45 --

Тэти [mаth] не надо расставлять: доллары автоматически окружаются тэгами.

[jetyb]

Эллипс можно определить как множество точек, для каждой из которых отношение расстояния до данной точки(фокуса) к расстоянию до данной прямой(директрисы) равно данному числу $e<1$(эксцентриситету). Как видно, эксцентриситет эллипса не может быть отрицательным, для данной задачи он меньше единицы.

Попробуем начать решать задачу с помощью циркуля и линейки. Из точки $B$ проведем две окружности: первая ГМТ фокуса, вторая касается директрисы. Так как директриса параллельна какой-то оси, то вариантов ее возможного определения не так уж и много. Остается определить нахождение фокуса. Задача эквивалентна следующей: даны точки $A, B$ и окружность, требуется найти точку $C$ на окружности, чтобы $\frac{AC}{BC}=const$ находились в известном соотношении. Это нетрудная задача.

Собственно, и она элементарно решается с помощью циркуля и линейки.

[AKM]

jetyb в сообщении #275929 писал(а):

Эллипс можно определить как множество точек, для каждой из которых отношение расстояния до данной точки(фокуса) к расстоянию до данной прямой(директрисы) равно данному числу $e<1$(эксцентриситету). Как видно, эксцентриситет эллипса не может быть отрицательным, для данной задачи он меньше единицы.

jetyb,
получая из этого определения уравнение коники, мы первым делом возводим чего-то в квадрат, $e$ сразу превращается в $e^2$. И потом может вылезти как отрицательное число (не помню точно, у меня это случалось, видимо от того, что дуги конич. сечений были определённым образом ориентированы.

Здесь это вылезает по другой причине. Эллипс, вопреки моим предположениям, вытянут горизонтально, но эксцентриситет "отрицательный".

Авторы решения не учитывают, что в задачке не указано --- левый или правый фокус (и соотв. директриса). Пишут уравнения для правого фокуса. И оказывается (по крайней мере, если не забыть модуль в последнем уравнении), что $e=-1/\sqrt2$. И это просто соответствует левому фокусу.

Уравнения имеют вид:

$$\begin{cases} \dfrac{(4-x_{0})^2}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2} = 1,\\[8pt] \dfrac{x_0^2}{a^2} + \dfrac{(4 - y_{0})^2}{b^2} = 1,\\[8pt] (x_{0}\pm ea)^2 + ( y_0-4)^2 = 18,\\[8pt] \left|x_0\pm \dfrac{a}{e}\right|= 6, \end{cases}$$

где знак + берётся для правого фокуса, минус --- для левого.
Очевидно, можно решать одну систему, согласившись получить $e<0$ для левого фокуса.

$^{*}$ Слово "левый" в данном сообщении употребляется в смысле "находящийся слева" (от центра).

$^{**}$ $x_0=12,\quad y_0=7,$ итд.

[a-next]

Есть такая теорема:

Цитата:

Отношение расстояния r произвольной точки эллипса до каждого из фокусов
к расстоянию d той же точки до соответствующей фокусу директрисы, есть
величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса.

Отсюда получаем: $\frac{BF}{d:x} = \frac{2\sqrt3}{6} = \frac{\sqrt2}{2}$
Где BF - расстояние от B до фокуса, a d:x - директриса.

[jetyb]

По определению, эксцентриситет - это отношение расстояния между фокусами к длине большой оси эллипса. Он будет всегда положительным. Правая директриса и правый фокус, левая директриса и левый фокус с одним и тем же эксцентриситетом дадут один и тот же эллипс. (Правая директриса и левый фокус дадут другой эллипс)

В составленных уравнениях перед эксцентриситетом стоит $\pm$, поэтому эксцентриситет отрицательного знака даст те же два случая.

Да, последнее уравнение

Цитата:

$\left|x_0\pm\frac{e}{a}\right|=6$

описывает случаи, когда директриса параллельна оси $y$. Есть еще случай, когда она параллельна оси $x$. Его надо тоже разобрать или обосновать его невозможность.