Задачи на описанные окружности и треугольники!

[Sasha2]

Нет это четырехугольник, тольк несобственный.
А что касается четырех окружностей, то здесь Вы правы абсолютно, их действительно четыре - одна вписанная и три вневписанных.
Нет, ну конечно заметил, что в доказательстве у меня есть опечатка, нужна конечно там сторона BC, а не диагональ AC, а в остальном все верно.

P.S. А Ваша задача то посложней наверно будет, чем исходная.
Вот вижу, что фигурф ABCDQP - это полный четырехсторонник, но к сожалению еще не владею этим материалом.

[Профессор Снэйп]

Sasha2 в сообщении #275368 писал(а):

Вот вижу, что фигурф ABCDQP - это полный четырехсторонник, но к сожалению еще не владею этим материалом.

Боже упаси, что это за зверь такой --- "четырёхсторонник"? Тут какая-то тема с этим словом мелькала, я в ней так ничего и не понял

Владеть материалом --- это не значит знать, как называется всё на свете, имеющее к нему отношение Так что, может, и владеете Предлагаю подумать.

[Батороев]

Профессор Снэйп в сообщении #275317 писал(а):

meduza в сообщении #274934 писал(а):

1) Тут нужно доказать, что $AB+CD=AC+BD$.

А я вот какую штуку не понимаю. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы длин противоположных сторон этого четырёхугольника совпадают, сие понятно. А почему верно обратное?

Для трапеций верно в обоих направлениях.

[meduza]

Батороев в сообщении #275380 писал(а):

Для трапеций верно в обоих направлениях.

Это верно для любых выпуклых четырехугольников.

[Sasha2]

Ну вот пока что путем аккуратного рассмотрения различных дуг, удалось показать, что биссектриса угла P (то есть угла, образованного пересечением AB и CD) и биссектриса угла Q (то есть угла, образованного пересечением BC и AD) перпендикулярны.

[Sasha2]

Может покажете решение.
Ну не видно ничего дальше перпендикулярности биссектрис.
Попробовал предположить, что точки касания лежат на этих биссектрисах, но даже при этих предположениях непонятно как решать дальше.

[Профессор Снэйп]

Sasha2 в сообщении #275571 писал(а):

Может покажете решение.
Ну не видно ничего дальше перпендикулярности биссектрис.
Попробовал предположить, что точки касания лежат на этих биссектрисах, но даже при этих предположениях непонятно как решать дальше.

Ну вот пусть точка $C$ лежит на отрезке $BQ$ и точка $D$ на отрезке $AQ$. Опишите окружность вокруг треугольника $CDQ$, возьмите точку $R$ её пересечения с отрезком $PQ$ и покажите, что четырёхугольник $PBCR$ также вписан в окружность. Далее всё совсем просто.

Олимпиадная такая задачка, не спорю. Вычислений почти не требуется

[Sasha2]

Предположим, что четырехугольник BRPC может быть вписан в некоторую окружность.
Тогда углы RCB и RPB должны быть равны, как вписанные в одну и ту же дугу.

Пока работаем в окружности, проведенной через точки (C, D и Q)
Угол RCB=RCQ =1/2*RQ (Дуга)
Угол RPB=RPC-APC
Угол RPC = 1/2*(QD-RC) (Дуга)
Следовательно, угол APC должен быть равен 1/2*CD (Дуга)

Эта дуга ACD в терминах исходной окружности, в которую вписан исходный четырехугольник измеряется полуразностью дуг CD и AB
Но на самом же деле угол APC на этой исходной окружности измеряется полуразностью дуг AD и BC.

И совершенно не очевидно, что в общем случаеэти две разности, AD-BC и CD-AB совпадут.

По всей видимости где то ошибка, или условие приведено не полностью.

[Профессор Снэйп]

Sasha2 в сообщении #275656 писал(а):

По всей видимости где то ошибка, или условие приведено не полностью.

Всё там полностью приведено и ошибки никакой нет. Углы аккуратно посчитайте!

[Sasha2]

Да Вы знаете все несколько раз пересмотрел

И вот картинка



Пока что увидел ошибку. Дугу QD взял не с той стороны, то есть не ту, которую нужно, а ту, которая дополняет нужную в окружности.
Буду пресчитывать, но уже так чувствую, что все сойдется.

[Sasha2]

Итак показываем, что четырехугольник BCPR может быть вписан в некоторую окружность.
Для этого достаточно показать, что угол RCB равен углу RPB.

RPB=RCQ=1/2*RQ
RPB=RPC-BPC
RPC=1/2*(QD-RC)=1/2*QD-1/2*RC
1/2*QD=Угол C.
RPC=Угол C - 1/2*RC
BPC=APC=1/2*()AD-BC)

И значит нам нужно показать, что

1/2*RQ=Угол C - 1/2*RC-1/2*(AD-BC)
или
1/2(RQ+RC)= Угол C -1/2*(AD-BC)
но 1/2*QC= Угол D

И доказываемое равенство принимает вид: Угол C - Угол D = 1/2(AD-BC).

В справедливости последего равенства можно убедиться добавив и отняв 1/2*AB в правую часть.

Итак тем самым показано, что четырехугольник BCPR может быть вписан в некоторую окружность.

Но опять же пока вот так с ходу непонятно, как сюда пристегнуть касательные.

[Sasha2]

Теперь, наверно нужно показать, что и четырехугольник QRBA также может быть вписан в окружность.
Если это так, то тогда по свойству секущей и касательной, проведенных из одной точки (что вся секущая и ее внешняя часть есть среднее геометрическое касательной):
1) Из четырехугольника BCPR имеем $QR*QP=QB*QC=b^2$
2) Из четырехугольника QRBA имеем $PR*PQ=PB*PA=a^2$

Даьше уже все слишком очевидно.

Если это так, то тогда задачу можно будет считать окончательно решенной, после того, как будет показано, что четырехугольник QRBA является вписанным.

Поправьте пожалуйста, если не так.

[Профессор Снэйп]

Sasha2 в сообщении #275677 писал(а):

И вот картинка

Картинка неправильная. Я же писал:

Профессор Снэйп в сообщении #275597 писал(а):

Ну вот пусть точка $C$ лежит на отрезке $BQ$ и точка $D$ на отрезке $AQ$.

А у Вас, наоборот, точка $B$ лежит на отрезке $CQ$, а точка $A$ --- на отрезке $DQ$.

[Sasha2]

Ну это уже непринципиальные мелочи.
Просто картинка составлена была до того, как Вы подсказали.
А все же ответ $\sqrt{a^2+b^2}$ правильный или нет?

[Профессор Снэйп]

Ответ правильный. А "мелочи", на мой взгляд, принципиальные. Не мудрено, что с неправильным рисунком у Вас ничего не получалось