Помогите проверить аксиомы нормы линейного пространства.

[sasharef]

Линейное пространство V = L1 + L2 (прямая сумма). В подпространстве L1 введена норма ||.||a, в подпространстве L2 введена норма ||.||b. Пусть x - произвольный элемент пространства V, x = u + v, где u принадлежит L1, v принадлежит L2.
Вопрос: Будет ли нормой в V фунция ||x|| = ||u||a + ||v||b -?
-------------------------------------------------------------------------------
аксиомы нормы линейного пространства:
1) ||x|| > 0 при x $\not=$ 0, ||0|| = 0;
2) ||$\gamma$ * x|| = |$\gamma$| * ||x|| для любого элемента x придлежащего V и для любого элемента $\gamma$ принадлежащего P;
3) ||x + y|| <= ||x|| + ||y||
---------------------------------------------------------------------------------
Первые 2 я проверил, и доказал, ниже изложу, а вот с номером 3 - проблемка, никак не получаеться, ходил несколькими путями, продолжаю усиленно ходить, и параллельно решил попросить помощи у "знатоков".


1) Положим u = 0, а x - ненулевой элемент, тогда т.к. x = u + v, слеет, что v$\not=$0 .
имеем ||x|| = ||v||b, где v <> 0,
т.к. для ||v||b выполнены аксиомы нормы, следует, что ||v||b > 0, а значит и ||x|| > 0.
Положим v = 0, а x - ненулевой элемент, тогда т.к. x = u + v, слеет, что u$\not=$0 .
имеем ||x|| = ||u||a, где u <> 0,
т.к. для ||u||a выполнены аксиомы нормы, следует, что ||u|a > 0, а значит и ||x|| > 0.

2) Умножим ||x|| на |$\gamma$|, |$\gamma$| * ||x||
т.к. x = u + v следовательно |$\gamma$| * x = |$\gamma$| * u + |$\gamma$| * v,
где |$\gamma$| * u принадлежит L1, |$\gamma$| * v принадлежит L2,
|$\gamma$| * x принадлежит V, то ||$\gamma$ * x|| = ||$\gamma$ * u||a + ||$\gamma$ * v||b. [равнство 1]
----------------------------
можно для пущей уверенности добавить ещё следующее преобразование.
|$\gamma$| * ||x|| = |$\gamma$| * ||u||a + |$\gamma$| * ||v||b = ||$\gamma$ * u||a + ||$\gamma$ * v||b. [равнство 2]

поскольку правые стороны равенств "1" и "2" совпадают, то аксиома "2" - верна для нормы ||x||.

не совсем уверен, что последнюю часть нужно включать в доказательство, буду рад услышать мнения.
-------------------------------
А дальше дело за вами, знатоки!!! Помогите, кто чем сможет! Благодарен заранее!
-------------------------------
Хочеться отметить, что ||x|| - это норма мы не знаем, нам нужно это либо подтвердить, либо наоборот.
-------------------------------

[ewert]

sasharef в сообщении #275572 писал(а):

а вот с номером 3 - проблемка,

А в чём проблемка-то?

Если $u=u_1+u_2$ и $v=v_1+v_2$, то норма их суммы по определению есть

$\|u+v\|=\|(u_1+v_1)+(u_2+v_2)\|\equiv\|u_1+v_1\|+\|u_2+v_2\|\leqslant$

$\leqslant\|u_1\|+\|v_1\|+\|u_2\|+\|v_2\|\equiv\|u_1+u_2\|+\|v_1+v_2\|=\|u\|+\|v\|$.

И вообще: если есть прямая сумма любого конечного набора пространств, и если определить на ней норму элемента $u_1+u_2+\ldots+u_n$ как результат применения любой конечномерной нормы к вектору $(\|u_1\|,\|u_2\|,\ldots,\|u_n\|)\in\mathbb R^n$ -- то все аксиомы нормы будут выполняться.

[PAV]

sasharef
оформляйте формулы полностью так, как требуется на форуме, а не искусственными средствами.

[sasharef]

ewert в сообщении #275580 писал(а):

sasharef в сообщении #275572 писал(а):

а вот с номером 3 - проблемка,

А в чём проблемка-то?

Если $u=u_1+u_2$ и $v=v_1+v_2$, то норма их суммы по определению есть

$\|u+v\|=\|(u_1+v_1)+(u_2+v_2)\|\equiv\|u_1+v_1\|+\|u_2+v_2\|\leqslant$

$\leqslant\|u_1\|+\|v_1\|+\|u_2\|+\|v_2\|\equiv\|u_1+u_2\|+\|v_1+v_2\|=\|u\|+\|v\|$.

И вообще: если есть прямая сумма любого конечного набора пространств, и если определить на ней норму элемента $u_1+u_2+\ldots+u_n$ как результат применения любой конечномерной нормы к вектору $(\|u_1\|,\|u_2\|,\ldots,\|u_n\|)\in\mathbb R^n$ -- то все аксиомы нормы будут выполняться.

Тут не всё так уж и просто.
Если $x=u_1+u_2$ и $y=v_1+v_2$ , то норма их суммы по определению есть
$\|x+y\|=\|(u_1+v_1)+(u_2+v_2)\|\equiv\|u_1+v_1\|+\|u_2+v_2\|\leqslant$
$\leqslant\|u_1\|+\|v_1\|+\|u_2\|+\|v_2\|\equiv\|u_1+u_2\|+\|v_1+v_2\|=\|x\|+\|y\|$

Но у нас спрашивается проверить, является ли $\|x\|$ нормой. А следовательно для доказательства мы не имеем права применять аксиомы нормы, чтоб представить их сумму.
Мы просто так, по определению, не имеем права представить норму суммы 2х элементов пространства V, т.к. мы вообще не знаем, что такая норма существует и определена однозначно, как
$\|x\|=\|u\|_\alpha+\|v\|_\beta$ нам надо это проверить, соответственно, до самого последнего момента, нам надо забыть о том, что $\|x\|$ - это вообще норма, пока мы это не докажем.

-- Вс дек 27, 2009 14:46:06 --

PAV в сообщении #275592 писал(а):

sasharef
оформляйте формулы полностью так, как требуется на форуме, а не искусственными средствами.

Извиняюсь, просто не знаком был с формульным вводом, не все символы знал, как правильно ввести, а сейчас не могу почему-то отредактировать исходное сообщение

[ewert]

sasharef в сообщении #275639 писал(а):

Тут не всё так уж и просто.
Если $x=u_1+u_2$ и $y=v_1+v_2$ , то норма их суммы по определению есть
$\|x+y\|=\|(u_1+v_1)+(u_2+v_2)\|\equiv\|u_1+v_1\|+\|u_2+v_2\|\leqslant$
$\leqslant\|u_1\|+\|v_1\|+\|u_2\|+\|v_2\|\equiv\|u_1+u_2\|+\|v_1+v_2\|=\|x\|+\|y\|$

Но у нас спрашивается проверить, является ли $\|x\|$ нормой. А следовательно для доказательства мы не имеем права применять аксиомы нормы, чтоб представить их сумму.
Мы просто так, по определению, не имеем права представить норму суммы 2х элементов пространства V, т.к. мы вообще не знаем, что такая норма существует и определена однозначно, как
$\|x\|=\|u\|_\alpha+\|v\|_\beta$ нам надо это проверить, соответственно, до самого последнего момента, нам надо забыть о том, что $\|x\|$ - это вообще норма, пока мы это не докажем.

Хорошо, маленько подредактировуем:

$f(u+v)=f((u_1+v_1)+(u_2+v_2))\equiv\|u_1+v_1\|_{\alpha}+\|u_2+v_2\|_{\beta}\leqslant$

$\leqslant\|u_1\|_{\alpha}+\|v_1\|_{\alpha}+\|u_2\|_{\beta}+\|v_2\|_{\beta}=(\|u_1\|_{\alpha}+\|u_2\|_{\beta})+(\|v_1\|_{\alpha}+\|v_2\|_{\beta})\equiv$

$\equiv f(u)+f(v)$

(три чёрточки означают в данном случае "по определению", а функция $f$ -- это предложенная кандидатка в нормы). Так понятнее?

sasharef в сообщении #275639 писал(а):

, а сейчас не могу почему-то отредактировать исходное сообщение

Редактирование разрешено только в течение часа (или примерно).

[sasharef]

Спасибо, всё сдал!!!