Хорошие идеалы

[lofar]

Рассмотрим алгебру полиномов $\mathbb Z_4[x,y]$. Идеал $I\lhd\mathbb Z_4[x,y]$ назовем хорошим если $2I=2\mathbb Z_4[x,y]\cap I$. Такие идеалы имеют массу полезных свойств.

Теорема. Следующие условия эквивалентны:
(а) $I$ --- хороший идеал.
(b) $I$ --- свободный (проективный, инъективный, плоский) $\mathbb Z_4$-модуль.
(с) $\mathbb Z_4[x,y]/I$ --- свободный (проективный, инъективный, плоский) $\mathbb Z_4$-модуль.
(d) $I$ выделяется прямым слагаемым в $\mathbb Z_4[x,y]$ как в $\mathbb Z_4$-модуле.

Рассмотрим канонический эпиморфизм $\nu\colon\mathbb Z_4\to\mathbb Z_2$ (приведение по моулю $2$). Он естественным образом продолжается до эпиморфизма $\nu\colon\mathbb Z_4[x,y]\to\mathbb Z_2[x,y]$ (применяем $\nu$ к каждому коэффициенту).

Верно ли, что для всякого идеала $J\lhd\mathbb Z_2[x,y]$ найдется хороший идеал $I\lhd\mathbb Z_4[x,y]$ такой, что $\nu(I)=J$?

Похоже, это не алгебраическая, а, скорее, теоретико-числовая задача. Буду рад услышать любые соображения по этому вопросу.

[Руст]

Я думаю теорему привели для общего ознакомления. А вопрос то тривиальный. Если есть эпиморфизм из одного коммутативного кольца K в другое R, то для любого идеала I из R существует прообраз J этого идеала в К.

[lofar]

Это так, прообраз существует всегда. Но, по условию, этот прообраз должен быть хорошим, а не произвольным.

[Руст]

Да, полный прообраз не хорош, так как содержит $2Z_4[x,y]$. А хорошим будет идеал, полученный от I заменой коэффициентов из Z2 на коэффициенты из Z4. Но это операция не представляется в виде тензорного произведения из-за того, что Z4 не модуль над Z2. Легко проверяется, что это идеал над I и хорош.

[lofar]

Не совсем так. Рассмотрим идеал $J\lhd\mathbb Z_2[x,y]$, порожденный тремя полиномами

$$f=x^2+y+1,\quad g=xy+y+1,\quad h=y^2+x+1$$

(коэффициенты из $\mathbb Z_2$).

Идеал $I\lhd\mathbb Z_4[x,y]$, порожденный полиномами

$$F=x^2+y+1,\quad G=xy+y+1,\quad H=y^2+x+1$$

(коэффициенты из $\mathbb Z_4$), удовлетворяет соотношению $\nu(I)=J$.

Вместе стем, идеал $I$ не является хорошим. Действительно, полином $2x+2y = yF+(3x+1)G+3H$ принадлежит $2\mathbb Z_4[x,y]\cap I$, но не принадлежит $2I$. Если бы $2x+2y$ принадлежал $2I$, то полином $x+y$ (над $\mathbb Z_2$) принадлежал бы $J$, а это не так.

Как Вы верно отметили, дело здесь в том, что $\mathbb Z_4$ не является алгеброй над $\mathbb Z_2$.

[Руст]

Вообще то я предлагал заменить все ненулевые коэффициенты из Z2 на всевозможные ненулевые прообразы из Z4. Тогда идеалу $J\lhd\mathbb Z_2[x,y]$, порожденному тремя полиномами

$$f=x^2+y+1,\quad g=xy+y+1,\quad h=y^2+x+1$$

(коэффициенты из $\mathbb Z_2$).

соответствует идеал $I\lhd\mathbb Z_4[x,y]$, порожденный 24 мя полиномами

$$F(a,b,c)=ax^2+by+c,\quad G(a,b,c)=axy+by+c,\quad H(a,b,c)=ay^2+bx+c$$

(коэффициенты a,b,c =1 или 3 из $\mathbb Z_4$), удовлетворяет соотношению $\nu(I)=J$.

[lofar]

Если я верно понял, то идеалу $I$, в частности, принадлежат $F(1,1,1)$ и $F(1,1,3)$, а значит и $F(1,1,3)-F(1,1,1)=2$. Но тогда $2$ лежит в $2\mathbb Z_4[x,y]\cap I$ и не лежит в $2I$. Значит $I$ не хороший.

[Руст]

Да сказал глупость. Над каждом образующем надо брать только один из возможных образующих, иначе условие хорошести тут же увеличивает идеал за пределы прообраза.
Здесь получается 8^3=512 возможных способов поднятия. Правда учитывая изменение знака заключающейся замене местами коэффициентов 1 на 3, 3 на 1 проверить можно только 4^3=64 варианта поднятия идеала.
Похоже, что таких идеалов мало, возможно только образованные одночленами.

[lofar]

Руст, спасибо Вам за отклик, Вы ухватили всю суть проблемы.

Удивительно, но хорошее поднятие существует! Идеал порожденный полиномами

$$F=x^2+3y+3,\quad G=xy+3y+1,\quad H=y^2+x+1$$

будет хорошим. У меня есть методы доказательства этого факта. Специально не публикую их здесь потому, что хотел бы услышать свежее, независимое мнение.

Более того, у меня нет примера неподнимаемого идеала. Есть гипотеза, что поднимается всякий идеал. Отмечу, что вариант подъема из $\mathbb Z_2$ в $\mathbb Z_4$ выбрал в качестве простейшего примера. Интересен вопрос поднятия из $\mathbb Z_p$ в $\mathbb Z_{p^n}$. Похоже, эта тема тесно связана с $p$-адической теорией.

[Руст]

Да это относится к p-адической тематике. Возможно не сложно доказать аналог леммы Гензеля, заключающийся в том, что если существует поднятие из $Z_p$ в $Z_{p^2}$ то существует и поднятие до любого $Z_{p^n}$.
Возможность первого (в принципе и для дальнейшего) поднятия связано с тем, что надо так расширить коэффициенты перед образующими, чтобы они по модулю p совпали с исходными и как только с помощью линейной комбинации появляется член из pK (K -все кольцо многочленов) за счёт выбора коэффициентов расширения добиться того, чтобы после сокращения на p он принадлежал идеалу. В доказательстве существования по видимому надо использовать рациональность p-адической дзета функции идеала для приведения к конечной проверке. Под дзета функции я здесь понимаю ряд составленный из размерностей пространств однородных элементов идеала, наподобии ряда Пуанкаре.