Равномерная сходимость интегралов

[smile]

Нужно исследовать на равномерную сходимость такие интегралы:

1) $\int_{0}^{+\infty}\sin(\alpha e^{x})dx$ на множестве $E = (\epsilon,+\infty), \epsilon > 0$
2) $\int_{0}^{+\infty}\sin(x^{2} + \alpha x)dx$ на множестве $E = (0, +\infty)$

в обоих случаях, кажется, эта сходимость окажется равномерной. во всяком случае, так утверждают ответы к задачнику. Не могу придумать, как поступать, когда надо доказывать сходимость подобных интегралов. Известные мне признаки - Дирихле, Абеля и Вейерштрасса - тут капитулируют, Критерий Коши же годен скорее для доказательства расходимости.

[RIP]

В обоих случаях доказывается по определению. Просто возьмите аргумент синуса в качестве новой переменной интегрирования.

[AD]

Тут, наверное, можно оценить хвост интеграла одним горбиком. Ну как в признаке Лейбница.

[Cave]

В первой можно сделать замену $t = e^x$ и применить признак.

[smile]

RIP в сообщении #274857 писал(а):

Просто возьмите аргумент синуса в качестве новой переменной интегрирования.

Я Вас не вполне понял... Что значит взять в качестве новой переменной? Замены ведь делать нельзя при исследовании равномерной сходимости.

И что значит оценить одним горбиком? Найти среди горбиков вносящий наибольшую лепту? В первом случае, очевидно, это будет самый "левый". Во втором, должно быть, тоже, просто придется сильнее повозиться. И какой вывод я делаю из этого? Говорю, что хвост меньше интеграла от горбика, а он по мере ухода на бесконечность схлопывается в ноль. Верно?

[RIP]

smile в сообщении #274862 писал(а):

Замены ведь делать нельзя при исследовании равномерной сходимости.

Что значит нельзя? Ткните в соответствующее место в Конституции РФ (или другого документа, где есть этот запрет).
Что значит равномерная сходимость? Это значит, что интегралы $\int_A^B\ldots dx$ малы при больших $A,B$. А уж с этими интегралами можно делать всё, что угодно, в частности, делать замену переменной.

[Полосин]

Мне кажется, у вас присутствует некоторое недопонимание того, что такое равномерная сходимость.
Возможно, следующая подсказка поможет вам лучше разобраться в предмете:
$\int\limits_R^{+\infty}\sin(x^2+\alpha x)dx=-\int\limits_R^{+\infty}\frac{d\cos(x^2+\alpha x)}{2x+\alpha}=...$

[smile]

В качестве аргумента, почему замены делать нельзя, нам приводили пример с интегралом Дирихле $\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}dx$. Если в качестве множества изменения параметра рассмотреть интервал $(0,+\infty)$, то на нем равномерной сходимости нет, а замена $t = \alpha x$ делала бы интеграл независящим от параметра и потому формально сходящимся равномерно. Если подходить к вопросу с позиций малости кусочков интеграла, то как это соотносится с применением признаков?

[Полосин]

Еще раз прочтите то, что написал RIP. Равномерная сходимость - это равномерная, т.е. не зависящая от параметра, малость остатка интеграла, т.е. $\int\limits_R^{+\infty}...$, при $R\rightarrow+\infty$. Изучите вопрос с заменой переменной применительно к остатку интеграла Дирихле, и вы поймете, в чем дело.

[smile]

Поправьте, пожалуйста, если в рассуждениях есть ошибка.
$\int_{R}^{+\infty}\sin(x^{2} + \alpha x)dx = -\int_{R}^{+\infty}\frac{d\cos(x^{2} + \alpha x)}{2x + \alpha} = \frac{\cos(R^{2} + \alpha R)}{2R + \alpha} - 2\int_{R}^{+\infty}\frac{cos(x^{2} + \alpha x)}{(2x + \alpha)^{2}}dx$
$\|\frac{cos(R^{2} + \alpha R)}{2R + \alpha}\|_{E} \le \frac{1}{2R} \to 0, R \to +\infty$
$\|\int\limits_{R}^{+\infty}\frac{cos(x^{2} + \alpha x)}{(2x + \alpha)}dx\|_{E} \le \int\limits_{R}^{+\infty}\frac{dx}{4x^{2}} = \frac{1}{4R} \to 0, R \to +\infty$
Так что норма хвоста самого интеграла тоже бесконечна мала при достаточно больших R, поэтому сходится равномерно.

-- Чт дек 24, 2009 22:05:19 --

Верно ли я понимаю, что справедлив следующий вывод:
если мы делаем обратимую замену $t = \phi (x)$, которая никак не контактирует с параметром, то равномерная сходимость исходного и полученного интегралов равносильны?

[Полосин]

В доказательстве все верно, только вместо нормы можно писать просто модуль. Мелкая опечатка: в интеграле в третьей строке знаменатель должен быть в квадрате.
Второе утверждение тоже верное.

[smile]

спасибо большое за помощь

[smile]

Появился еще один вопрос на эту тематику. интеграл таков: $\int\limits_{0}^{+\infty}sin(x^{\alpha})dx$ на множестве $(A, +\infty), A > 1$. Замена $x^{\alpha} = t$ приводит к исследованию предела $\lim\limits_{R \to +\infty}\|\int\limits_{R^{\alpha}}^{+\infty}\frac{sin(t)}{\alpha t^{1 - \frac{1}{\alpha}}}dt\|_{E}$, что дела не решает. как решать проблему с зависимостью нижнего предела интегрирования от альфы?

[Полосин]

Решать можно по-разному. Можно сразу сообразить, что если бы интеграл сходился равномерно на множестве $\alpha>1$, то у него существовал бы предел при $\alpha\rightarrow1+0$, что, очевидно, не имеет места. Можно воспользоваться критерием Коши. Можно проинтегрировать по частям.
Если $\alpha$ отделено от единицы, как в вашем случае, то вообще проблем никаких.
P.S. Только не от альфы, а от альфа: названия букв не склоняются (от икс, по бета и т.п.)

[smile]

ясно, что если множество касается единицы, то все бы бы однозначно. а тут-то оно от нее отделено, к тому же в ответе написано: равномерно. к тому же при всех A > 1 интеграл сходится, нет оснований полагать, что сходится он неравномерно... а что до "по частям", спасибо, помогло