что я обнаружил в попытках доказать Теорему Ферма

[Ales]

Очень многие математики (включая например Коши) пытались найти доказательство теоремы Ферма.
Заниматься этой теоремой не зазорно, если конечно можешь себя контролировать.

Я тоже пытался доказать эту теорему, но ничего не доказал, зато получил удовольствие от интересной математики связанной с этой теоремой. И кое-что открыл. Может быть это уже известно, а может нет. Может кому-нибудь это будет интересно.

Началось с того, что я заметил: $x^n+y^n$ - определитель целочисленной матрицы размера nxn $ x+yR$, где $R$ такая целочисленная матрица размера nxn, что $R^n=1$
например матрица оператора циклической перестановки векторов $e_1\rightarrow e_2\rightarrow ....\rightarrow e_{n-1}\rightarrow e_n\rightarrow e_1$



для $n=5$ $ R=\left( \begin{array}{lllll} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ $x+yR=\left( \begin{array}{lllll} x & y & 0 & 0 & 0 \\ 0 & x & y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & y & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x & y \\ y & 0 & 0 & 0 & x \end{array} \right)$

[Ales]

Я напутал и изобразил матрицу обратной перестановки $e_n\rightarrow e_{n-1} \rightarrow .... \rightarrow e_2\rightarrow e_1 \rightarrow e_n$.
Замечание: перед этим и далее $n$ - простое число больше $2$.
Матрица $R$ порождает кольцо над кольцом целых чисел. В этом кольце есть три естественные нормы: определитель матрицы, сумма столбца (=сумма строки) и определитель поделенный на сумму строки.
Если факторизовать это кольцо по элементу $1+R+R^2+...+R^n$, оно гомоморфно отобразится в круговое кольцо, порожденное комплексным корнем из $1$ степени $n$. Таким образом, теория таких колец "проектируется" в теорию Куммера. А определитель поделенный на сумму строки совпадет с нормой в круговом кольце.

План исследования был такой же как и у Куммера: показать что $x+yR=(a_0+a_1R+a_2R^2+....+a_{n-1} R^{n-1} )^n$, и тогда все получится.
Дальше я исследовал свое кольцо, благо книга М. Постникова "Теорема Ферма" была под рукой и можно было смотреть, как исследовал круговое кольцо Куммер. Исследования Куммера и его теория нетривиальны, и поэтому я не добрался до доказательства теоремы Ферма для отдельных случаев (то есть до подсчета числа классов идеалов кольца и определения регулярности числа $n$).

[age]

Ага! Вот теперь лучше. К сожалению, я не совсем силен в линейной алгебре, подожду оценки местных "спецов", потом подключусь.

Предварительно могу сказать, что основная мысль должна быть цикличности. Может быть, это как-то связано с кольцами, образуемыми простыми числами.

[Ales]

Первый интересный обнаруженный в ходе исследований факт касается сумм корней из 1:
если $n+1$ делится на $4$, $n=3,7,11,.....$ то
$\frac{-1+i\sqrt{n}} 2 =\sum e^{\frac k n 2\pi i}$, где $k$ пробегает все ненулевые квадратичные вычеты по модулю $n$,
$\frac{-1-i\sqrt{n}} 2 =\sum e^{\frac k n 2\pi i}$, где $k$ пробегает все ненулевые неквадратичные вычеты по модулю $n$ (или наоборот? не знаю, где точно $+i\sqrt{n}$);
если же $n-1$ делится на $4$, $n=5,13,17,.....$ то
$\frac{-1+\sqrt{n}} 2 =\sum e^{\frac k n 2\pi i}$, где $k$ пробегает все ненулевые квадратичные вычеты по модулю $n$,
$\frac{-1-\sqrt{n}} 2 =\sum e^{\frac k n 2\pi i}$, где $k$ пробегает все ненулевые неквадратичные вычеты по модулю $n$ (или наоборот? не знаю, где точно $+\sqrt{n}$).

Значит круговое поле связано с квадратичным. И многочлен $\frac {x^n-1} {x-1}$, то есть $x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1$, который не разлагается над полем рациональных чисел, можно разложить над квадратичным полем, порожденным $\sqrt n$.
В самом деле $\frac {x^n-1} {x-1} = \prod\limits_{k>0} (x-e^{\frac k n 2\pi i})$.

[tolstopuz]

Ales в сообщении #273981 писал(а):

Первый интересный обнаруженный в ходе исследований факт касается сумм корней из 1:

Айерлэнд-Роузен, Классическое введение в современную теорию чисел, стр. 98

-- Вт дек 22, 2009 13:26:31 --

age в сообщении #273968 писал(а):

Может быть, это как-то связано с кольцами, образуемыми простыми числами.

Не могли бы вы рассказать подробнее, какие кольца образуют простые числа? Меня очень интересует этот вопрос.

[Ales]

например:
$\frac{x^{3}-1}{x-1}=(x+\frac {1+i\sqrt{3}} 2 ) * (x+ \frac {1-i\sqrt{3}} 2 ) $

$\frac{x^{5}-1}{x-1}=((x^{2}+1)+\frac {1+\sqrt{5}} 2x ) * ((x^{2}+1)+\frac {1-\sqrt{5}} 2x ) $

$\frac{x^{7}-1}{x-1}=((-x^{3}+x+1)-\frac {1+i\sqrt{7}} 2(x^{2}+x) ) * ((-x^{3}+x+1)- \frac {1-i\sqrt{7}} 2(x^{2}+x) ) $

-- Вт дек 22, 2009 13:29:01 --

$\frac{x^{11}-1}{x-1}=((-x^{5}+x^{3}-x^{2}+x+1)-\frac {1+i\sqrt{11}} 2(x^{4}+x) ) * ((-x^{5}+x^{3}-x^{2}+x+1)- \frac {1-i\sqrt{11}} 2(x^{4}+x) ) $

-- Вт дек 22, 2009 13:30:11 --

$\frac{x^{13}-1}{x-1}=((x^{6}+2x^{4}-x^{3}+2x^{2}+1)-\frac {1+\sqrt{13}} 2(-x^{5}-x^{3}-x) ) * ((x^{6}+2x^{4}-x^{3}+2x^{2}+1)-\frac {1-\sqrt{13}} 2(-x^{5}-x^{3}-x) ) $

-- Вт дек 22, 2009 13:32:30 --

$\frac{x^{17}-1}{x-1}=((x^{8}+2x^{6}+3x^{5}+x^{4}+3x^{3}+2x^{2}+1)-\frac {1+\sqrt{17}} 2(-x^{7}-x^{6}-x^{5}-2x^{4}-x^{3}-x^{2}-x) ) * ((x^{8}+2x^{6}+3x^{5}+x^{4}+3x^{3}+2x^{2}+1)-\frac {1-\sqrt{17}} 2(-x^{7}-x^{6}-x^{5}-2x^{4}-x^{3}-x^{2}-x) ) $

-- Вт дек 22, 2009 13:34:29 --

$\frac{x^{19}-1}{x-1}=((-x^{9}+2x^{7}-2x^{6}-2x^{5}+3x^{4}+x^{3}-2x^{2}+x+1)-\frac {1+i\sqrt{19}} 2(x^{8}-x^{6}+x^{5}+x^{4}-x^{3}+x) ) * ((-x^{9}+2x^{7}-2x^{6}-2x^{5}+3x^{4}+x^{3}-2x^{2}+x+1)- \frac {1-i\sqrt{19}} 2(x^{8}-x^{6}+x^{5}+x^{4}-x^{3}+x) ) $

-- Вт дек 22, 2009 13:36:08 --

или еще
$\frac{x^{41}-1}{x-1}=((x^{20}+5x^{18}+7x^{17}+5x^{16}+13x^{15}+13x^{14}+8x^{13}+16x^{12}+15x^{11}+7x^{10}+15x^{9}+16x^{8}+8x^{7}+13x^{6}+13x^{5}+5x^{4}+7x^{3}+5x^{2}+1)-\frac {1+\sqrt{41}} 2(-x^{19}-x^{18}-2x^{17}-4x^{16}-3x^{15}-4x^{14}-6x^{13}-4x^{12}-4x^{11}-6x^{10}-4x^{9}-4x^{8}-6x^{7}-4x^{6}-3x^{5}-4x^{4}-2x^{3}-x^{2}-x) ) * ((x^{20}+5x^{18}+7x^{17}+5x^{16}+13x^{15}+13x^{14}+8x^{13}+16x^{12}+15x^{11}+7x^{10}+15x^{9}+16x^{8}+8x^{7}+13x^{6}+13x^{5}+5x^{4}+7x^{3}+5x^{2}+1)-\frac {1-\sqrt{41}} 2(-x^{19}-x^{18}-2x^{17}-4x^{16}-3x^{15}-4x^{14}-6x^{13}-4x^{12}-4x^{11}-6x^{10}-4x^{9}-4x^{8}-6x^{7}-4x^{6}-3x^{5}-4x^{4}-2x^{3}-x^{2}-x) ) $

-- Вт дек 22, 2009 13:37:46 --

у меня их раскладывает программа

-- Вт дек 22, 2009 13:40:20 --

надеюсь что в ней нет ошибок

-- Вт дек 22, 2009 13:54:50 --

Второй интересный факт: число классов идеалов с ненулевой нормой в кольце, порожденным матрицей $R$, совпадает с числом классов линейных отображений n-мерного тора в себя $R: T^n \to T^n$ таких, что $R^n=1,R\neq1$. Классы линейных отображений определяются с точностью до $ARA^{-1}$, где $A$ линейное преобразование тора.

-- Вт дек 22, 2009 13:58:19 --

Можно вместо классов отображений тора брать просто классы целочисленных матриц размера nxn (линейных операторов $\mathbb{Z}^n\to \mathbb{Z}^n$).

-- Вт дек 22, 2009 14:19:06 --

tolstopuz в сообщении #274055 писал(а):

Ales в сообщении #273981 писал(а):
Первый интересный обнаруженный в ходе исследований факт касается сумм корней из 1:
Айерлэнд-Роузен, Классическое введение в современную теорию чисел, стр. 98

-- Вт дек 22, 2009 13:26:31 --

Спасибо.

Это оказывается квадратичные суммы Гаусса.

[Коровьев]

Для информации.
1.Циклический определитель, в обиходе циркулянта, целиком раскладывается на линейные множители
$\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} {a_0 } & {a_1 } & {...} & {a_{n - 2} } & {a_{n - 1} } \\ {a_{n - 1} } & {a_0 } & {a_1 } & {...} & {a_{n - 2} } \\ {a_{n - 2} } & {a_{n - 1} } & {a_0 } & {a_1 } & {...} \\ {...} & {...} & {...} & {...} & {...} \\ {a_1 } & {...} & {a_{n - 2} } & {a_{n - 1} } & {a_0 } \\ \end{array}} \right) = \prod\limits_{k = 0}^{n - 1} {\sum\limits_{m = 0}^{n - 1} {a_m \varepsilon ^{km} } } \]$
$\varepsilon = e^{\frac{{2\pi i}}{n}} ,i^2 = - 1$

2.Суммы Гаусса
$S\left( {\frac{{ax^2 }}{P}} \right) = \sum\limits_{x = 1}^P {e^{\frac{{2\pi i}}{P}ax^2 } } ,(a,P) = 1$
Гаусс исследовал эти суммы и нашёл:
${S\left( {\frac{{ax^2 }}{P}} \right)} =\pm \sqrt P ,P \equiv \pm 1(\bmod 2) $
$ {S\left( {\frac{{ax^2 }}{P}} \right)} = 0,P \equiv 2(\bmod 4) $
$ \left| {S\left( {\frac{{ax^2 }}{P}} \right)} \right| = \sqrt {2P} ,P \equiv 0(\bmod 4) $

[Ales]

Коровьев в сообщении #274084 писал(а):

Для информации.

Спасибо.
Я нашел величину суммы Гаусса (до знака конечно я не добрался) используя то, что сумма строки произведения циклических матрицы равна произведению суммы строк. А круговое кольцо совпадает с кольцом циклических матриц, факторизованным по матрице состоящей только из единиц.

Два числа дают в сумме -1, произведение находим, зная произведение сумм строк.
Получаем квадратное уравнение.

[Коровьев]

Прошу прощения, у меня неверно
${S\left( {\frac{{ax^2 }}{P}} \right)} =\pm \sqrt P ,P \equiv \pm 1(\bmod 2) $
Правильно так
$ \left| {S\left( {\frac{{ax^2 }}{P}} \right)} \right| =\sqrt P ,P \equiv 1(\bmod 2) $
Или так
${S^2 \left( {\frac{{ax^2 }}{P}} \right)} =\pm P ,P \equiv \pm 1(\bmod 2) $

[age]

Всегда, когда вижу выражения вида $\dfrac {1+\sqrt{41}}{2}$ при разговоре о целых числах, не могу остаться равнодушным!

-- Ср дек 23, 2009 00:47:55 --

tolstopuz
Не помню точно, но при делении различных чисел на простое число остатки от деления образуют кольцо. Надеюсь ваш интерес удовлетворен?

[tolstopuz]

age в сообщении #274248 писал(а):

Не помню точно, но при делении различных чисел на простое число остатки от деления образуют кольцо.

А на составное?

[age]

tolstopuz
Ну не люблю я кольца!

[Алексей К.]

Как-то так, наверное...

$$\begin{picture}(120,120)(-60,-60) \Large \put(45,0){\rotatebox[origin=c]{-90}{\hbox{2}}} \put(38,23){\rotatebox[origin=c]{-60}{\hbox{\hbox{3}}}} \put(20,40){\rotatebox[origin=c]{-30}{\hbox{5}}} \put(0,46){\rotatebox[origin=c]{0}{\hbox{7}}} \put(-28,42){\rotatebox[origin=c]{30}{\hbox{11}}} \put(-45,20){\rotatebox[origin=c]{60}{\hbox{13}}} \put(-45,-10){\rotatebox[origin=c]{100}{\hbox{17}}} \put(-30,-35){\rotatebox[origin=c]{135}{\hbox{19}}} \put(-5,-43){\rotatebox[origin=c]{180}{\hbox{23}}} \put(18,-40){\rotatebox[origin=c]{-150}{\hbox{29}}} \put(35,-20){\rotatebox[origin=c]{-130}{\hbox{\ldots}}} \put(-44,-59){\small\text{кольцо простых чисел~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~.}} %\rotatebox{-37}{\resizebox{27mm}{!}{2}} \end{picture} $$

[Коровьев]

А эта красата - простые числа Гаусса.

[Ales]

С Новым Годом.

Коровьев в сообщении #276711 писал(а):

А эта красата - простые числа Гаусса.

Здорово! А есть ли картинка для чисел $a+b\frac{-1+i\sqrt3} 2$? Интересен также вопрос о распределении Гауссовых простых чисел. Кто-нибудь занимался им специально?

-- Пн янв 04, 2010 15:19:54 --

Может быть, чтобы решить задачу о распределении простых чисел и нулях дзета-функции Римана, надо исследовать простые числа на комплексной плоскости?