доказательство одинакового распределения

[voipp]

даны независимые одинаково распределенные случайные величины и некоторая непрерывная функция.не поможите доказать что если подставить эти величины в функцию то получим новые случ.величины которые так же будут независимы и одинаково распределены.И что будет если функция обычный модуль?

[jetyb]

А с чего это им быть зависимыми и по-разному распределенными?

[voipp]

ну я так думал что величины одинаково распределены если у них одинаковые функции распределения или плотности(что тоже самое) или хар-кие функции(что тоже самое).А как вы увидели что они будут одинакоов распределены.Я например не вижу.Мне нужно аналитическое доказательство.И что делать с модулем?

[jetyb]

Построение распределения функции просто. Берется какой нибудь интервал из области значений, находится его прообраз(так как функция непрерывна, то прообраз открытого множества открыт) и по известному распределению определяется вероятность этого прообраза. Из полученных данных можно написать распределение функции. Так как операции для разных одинаково распределенных случайных величин абсолютно идентичны, то их функции будут иметь одинаковое распределение.

Например, для модуля:
$F_{|a|}(x)=P(|a|<x)=\chi P(-x<a<x)=\chi(F_a(x)-F_a(-x^+))$
$\chi$ - функция Хевинсайда

[voipp]

а почему распределние функции? Мне нужно распределение случайной величины

[jetyb]

voipp в сообщении #274194 писал(а):

доказать что если подставить эти величины в функцию то получим новые случ.величины которые так же будут независимы и одинаково распределены

Я так понял, что распределение нужной случайной величины и есть распределение функции. Если хотите узнать каккое-то другое распределение, то сформулируйте вопрос понятно.

[voipp]

ой да ссори я не понял сначала.А скажите зачет в формуле выше функция хэвисайда?

[jetyb]

Следите за опечатками. Функция Хэвинсайда взята из эстетической красоты(и лени писать разбор случаев). Функция распределения модуля равна нулю при отрицательных $x$(невероятно, что модуль случайной величины меньше нуля).

[voipp]

о как все умно!)))спасибо

-- Ср дек 23, 2009 01:18:40 --

аааа и получается что распределение функции мы можем задать так: вероятность функции на каком-то интервале равна вероятности прообраза этого интервала?А Если например брать интервалы у которых один конец в минус бесконечности то мы сможем считать функции распределения нашей функции.Я правильно понял?

-- Ср дек 23, 2009 01:22:31 --

а годится ли это для кусочно - гладких функций?

[PAV]

voipp в сообщении #274267 писал(а):

аааа и получается что распределение функции мы можем задать так: вероятность функции на каком-то интервале равна вероятности прообраза этого интервала?А Если например брать интервалы у которых один конец в минус бесконечности то мы сможем считать функции распределения нашей функции.Я правильно понял?

Правильно.

voipp в сообщении #274267 писал(а):

а годится ли это для кусочно - гладких функций?

Это годится для любых измеримых функций. И непрерывные, и кусочно-гладкие функции измеримы. Измеримость нужна для того, чтобы функция от случайной величины была бы случайной величиной.

За этими словами кроется совершенно очевидное содержание. Вы уже поняли, что $P(f(X)\in(-\infty,t))=P(X\in f^{-1}(-\infty,t))$. В общем случае эта вероятность определена только лишь если множество $f^{-1}(-\infty,t)$ является борелевским. Вот ровно это (чтобы все такие множества являлись борелевскими, т.е. все вероятности были бы определены) и означает измеримость функции $f$ и то, что $f(X)$ - случайная величина.

[ewert]

(Оффтоп)

PAV в сообщении #274332 писал(а):

является борелевским.

только почему именно борелевским, а не просто измеримым по Лебегу?

[PAV]

ewert
Потому что в общем виде распределение случайных величин в теории вероятностей принято задавать именно на борелевских множествах.