сходимость рекуррентной последовательности x_{n+1}=cos(x_n)

[aido]

1) при каком $x_1$ {$x_n$} сходится:
$x_{n+1}=\cos(x_n)$

Думал насчет этих всех... идей абсолютно нет, кроме того, что в задаче $l=\cos(l)$, l-предел последовательности, но как доказать, что при всех иксах к этому стремится - я не знаю...

[PAV]

Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.

Оформите формулы

[PAV]

Возвращено

[ewert]

aido в сообщении #273934 писал(а):

1) при каком $x_1$ {$x_n$} сходится:
$x_{n+1}=\cos(x_n)$

Думал насчет этих всех... идей абсолютно нет, кроме того, что в задаче $l=\cos(l)$, l-предел последовательности, но как доказать, что при всех иксах к этому стремится - я не знаю...

Доказывайте, что отображение в правой части -- сжимающее.

(где будут находиться все точки, начиная со второй?...)

[aido]

ну явно в промежутке [-1;1], но может также и не быть предела при некотором начальном значении..

это как-то неочевидно, что при любом иксе сходиться будет...

[ewert]

Принцип сжимающих отображений знаете?

[aido]

пока нет=)) или это тоже самое, что и принцип Больцано-Вейерштрасса, она же теорема о вложенных отрезках? вы про него?

[ewert]

Нет, не то же.

Плохо, что пока нет.

Тогда доказывайте, что подпоследовательность $x_{2k}$ имеет одну монотонность, а $x_{2k+1}$ -- другую. Это хорошо видно на графике, если учесть, что всё (во всяком случае, начиная с третьего номера) будет происходить на интервале $(0;{\pi\over2})$, на котором производная косинуса отрицательна и по модулю строго меньше единицы.