абсолютная и условная сходимость ряда

[NeBotan]

День добрый.
Разбираюсь со сходимостью ряда $ \sum_{n=2}^{\infty }\frac{(-1)^{\sqrt{n}}}{(2n-1)ln^2n}$
Абсолютно ряд сходится по признаку Лейбница $\lim_{n\to \infty }u_n=0$.

А вот как проверить условную сходимость ряда? пробовал по признаку Даламбера, но ничего путного не получил. Подскажите пожалуйста.

-- Пн дек 21, 2009 19:20:18 --

Например, если сравнить его с расходящимся рядом $\sum \frac{1}{n}$, то отношение общих членов этих рядов даст 0. Значит исходный ряд сходится условно. Правильная у меня логика, или че-то пропустил?

[GAA]

NeBotan в сообщении #273827 писал(а):

Абсолютно ряд сходится по признаку Лейбница $\lim_{n\to \infty }u_n=0$.

Вы неправильно применили признак Лейбница.

Для исследования на абсолютную сходимость, воспользуйтесь сначала признаком сходимостей рядов с эквивалентными членами, а затем интегральным признаком Коши — Маклорена.

[NeBotan]

c эквивалентными членами это как? сравнить с похожим рядом, который заведомо сходится или расходится? А почему признак Лейбница неправильно применил? для абсолютной сходимости, когда общий член берем по модулю; разве так нельзя?

[GAA]

Если $a_n \sim b_n$, то ряды $ \sum a_n$ и $\sum b_n $ со знакоположительными членами сходятся или расходятся одновременно. Можно на первом шаге не применять признак сходимости рядов с эквивалентными членами, тогда при исследовании сходимости несобственного интеграла удобно применить признак сходимости интегралов с эквивалентными подынтегральными функциями.

NeBotan писал(а):

А почему признак Лейбница неправильно применил? для абсолютной сходимости, когда общий член берем по модулю; разве так нельзя?

Признак Лейбница применим к знакочередующимся рядам, и на вопрос об абсолютной сходимости этот признак ответ не дает.

[ИСН]

Оцените как-нибудь сумму последовательных членов одного знака. Чтобы доказать сходимость, надо оценивать сверху (только это не выйдет), а чтобы расходимость - снизу.

[ewert]

NeBotan в сообщении #273827 писал(а):

День добрый.
Разбираюсь со сходимостью ряда $ \sum_{n=2}^{\infty }\frac{(-1)^{\sqrt{n}}}{(2n-1)ln^2n}$
Абсолютно ряд сходится по признаку Лейбница $\lim_{n\to \infty }u_n=0$.

А вот как проверить условную сходимость ряда?

Бред какой-то.

Во-первых, ряд сходится действительно абсолютно, но вовсе не по Лейбницу (тот и вообще ни о какой абсолютности даже и не думал говорить), а -- по интегральному признаку.

Во-вторых, если уж есть ужо абсолютная сходимость, то чего ещё задумываться и об условной.

В-третьих, и это самое загадочное: а что это ещё за $(-1)^{\sqrt n}$?... Вы что, уже к ТФКП перешли?... -- но там обычно вопросов об условной сходимости ставить как-то не принято... в смысле недосуг...

-----------------------------------------
(я уж не говорю о том, что само по себе это выражение -- $(-1)^{\sqrt n}$ -- неопределённо; т.е. ряд-то сойдётся, конечно, при любой его интерпретации, но при разных интерпретациях -- к разным суммам...)

[ИСН]

Тьфу ты, там линейный член ещё снизу. Да, конечно, всё сходится, всё так.
В числителе имелась в виду наверняка $(-1)^{\lfloor\sqrt n\rfloor}$ - не все знают, как написать.

[Sasha2]

Там наверно автор целую часть забыл выделить из корня.