Разложить в ряд Тейлора экспоненту от многочлена

[LordPingvin]

Помогите решить задачу:
Разложить в ряд Телора функцию $exp(f(x))$, где $f(x)=a_0+a_1 t+...+a_n t^n$
Я нашел производные до 6-го порядка, но четкой закономерности так и не увидел. Может кто-нибудь решал такую задачу или есть другой способ решения?

[AD]

Другой способ - разложить экспоненту в стандартный ряд и подставить $f(x)$.

[RIP]

AD в сообщении #273520 писал(а):

Другой способ - разложить экспоненту в стандартный ряд и подставить $f(x)$.

Только тогда уж $f(x)-a_0$.
Простой общей формулы, думаю, не существует.

[mihiv]

$y(x)=\exp (f(x)),$дифференцируем:

$$y'=y\cdot f'\qquad (1)$$

Подставляя в (1) $y(x)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }b_kx^k$ и выражение для $f(x)$ и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в правой и левой частях равенства (1),получим рекуррентную формулу для $b_k$.

[ИСН]

http://mathworld.wolfram.com/FaadiBrunosFormula.html, если уж на то пошло.
а свернётся ли она в частном случае во что-то более красивое - это лотерея...

[LordPingvin]

mihiv
получается
$b_1=a_1b_0$
$2b_2=2a_2b_0+a_1b_1$
$3b_3=3a_3b_0+2a_2b_1+a_1b_2$
.....
но как найти $b_0$?

P.S. Меня осенило) $b_0=exp(a_0)$?

[Gafield]

Ну, какую-нибудь формулу и без реккурентности написать можно, представив функцию как произведение экспонент. При $x^m$ коэффициентом будет сумма всех вариантов $e^{a_0}a_1^{k_1}\ldots,a_n^{k_n}/(k_1!\ldots k_n!)$, таких, что $k_1+2k_2+\ldots n k_n =m$.

[Leox]

Gafield в сообщении #274259 писал(а):

Ну, какую-нибудь формулу и без реккурентности написать можно, представив функцию как произведение экспонент. При $x^m$ коэффициентом будет сумма всех вариантов $e^{a_0}a_1^{k_1}\ldots,a_n^{k_n}/(k_1!\ldots k_n!)$, таких, что $k_1+2k_2+\ldots n k_n =m$.

Есть формула Фаа ди Бруно производной сложной функции. Она неудобная, но возможно для експонентьі сущесвует приемлемое вьіражение
http://en.wikipedia.org/wiki/Fa%C3%A0_d ... 's_formula