2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разложить в ряд Тейлора экспоненту от многочлена
Сообщение20.12.2009, 20:24 


20/12/09
4
Помогите решить задачу:
Разложить в ряд Телора функцию $exp(f(x))$, где $f(x)=a_0+a_1 t+...+a_n t^n$
Я нашел производные до 6-го порядка, но четкой закономерности так и не увидел. Может кто-нибудь решал такую задачу или есть другой способ решения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Тейлора экспоненту
Сообщение20.12.2009, 20:37 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Другой способ - разложить экспоненту в стандартный ряд и подставить $f(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Тейлора экспоненту
Сообщение20.12.2009, 20:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3824
AD в сообщении #273520 писал(а):
Другой способ - разложить экспоненту в стандартный ряд и подставить $f(x)$.
Только тогда уж $f(x)-a_0$.
Простой общей формулы, думаю, не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Тейлора экспоненту
Сообщение21.12.2009, 13:53 
Заслуженный участник


03/01/09
1701
москва
$y(x)=\exp (f(x)),$дифференцируем:$$y'=y\cdot f'\qquad (1)$$Подставляя в (1) $y(x)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }b_kx^k$ и выражение для $f(x)$ и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в правой и левой частях равенства (1),получим рекуррентную формулу для $b_k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Тейлора экспоненту
Сообщение21.12.2009, 14:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
http://mathworld.wolfram.com/FaadiBrunosFormula.html, если уж на то пошло.
а свернётся ли она в частном случае во что-то более красивое - это лотерея...

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Тейлора экспоненту
Сообщение23.12.2009, 00:00 


20/12/09
4
mihiv
получается
$b_1=a_1b_0$
$2b_2=2a_2b_0+a_1b_1$
$3b_3=3a_3b_0+2a_2b_1+a_1b_2$
.....
но как найти $b_0$?

P.S. Меня осенило) $b_0=exp(a_0)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Тейлора экспоненту
Сообщение23.12.2009, 00:19 
Заслуженный участник


22/01/07
605
Ну, какую-нибудь формулу и без реккурентности написать можно, представив функцию как произведение экспонент. При $x^m$ коэффициентом будет сумма всех вариантов $e^{a_0}a_1^{k_1}\ldots,a_n^{k_n}/(k_1!\ldots k_n!)$, таких, что $k_1+2k_2+\ldots n k_n  =m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Тейлора экспоненту
Сообщение23.12.2009, 00:27 


25/08/05
645
Україна
Gafield в сообщении #274259 писал(а):
Ну, какую-нибудь формулу и без реккурентности написать можно, представив функцию как произведение экспонент. При $x^m$ коэффициентом будет сумма всех вариантов $e^{a_0}a_1^{k_1}\ldots,a_n^{k_n}/(k_1!\ldots k_n!)$, таких, что $k_1+2k_2+\ldots n k_n  =m$.


Есть формула Фаа ди Бруно производной сложной функции. Она неудобная, но возможно для експонентьі сущесвует приемлемое вьіражение
http://en.wikipedia.org/wiki/Fa%C3%A0_d ... 's_formula

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group