Как доказать тождество?

[Leox]

$$ {\frac {1}{ \left( yx-1 \right) \left( y-{x}^{2} \right) \left(x -{y} ^{2}\right) }}=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{y^{2i+3}}\sum_{j=1}^{i+1} c(i,j) y^{3(j-1)}, $$

где

$$ c(i,j)= \left \{ \begin{array}{l} \min(n{-}k+2,k) , k \leqslant n+1, \\ \\ 0, \text{ {\rm иначе.} } \end{array} \right. $$

[Полосин]

Разложите дробь на простейшие, затем каждую из них - в степенной ряд по $x$.

[Leox]

Полосин в сообщении #273155 писал(а):

Разложите дробь на простейшие, затем каждую из них - в степенной ряд по $x$.

Разложил.

$$ -{\frac {{y}^{3}}{ \left( yx-1 \right) \left( -2\,{y}^{3}+1+{y}^{6} \right) }}+{\frac {2\,{y}^{2}+x{y}^{3}+x}{ \left( -y+{x}^{2} \right) y \left( -2\,{y}^{3}+1+{y}^{6} \right) }}-{\frac {1}{ \left( -{y}^{2}+ x \right) y \left( -2\,{y}^{3}+1+{y}^{6} \right) }} $$

[Gafield]

В определении $c(i,j)$ справа не те индексы. Замена $x=ty^2$ сводит левую часть к произведению трех геометрических прогрессий.

[Leox]

Да, недосмотрел, спасибо

$$ c(i,j)= \left \{ \begin{array}{l} \min(i{-}j+2,k) , j \leqslant j+1, \\ \\ 0, \text{ {\rm иначе.} } \end{array} \right. $$

[Gafield]

Опять что-то не то. К тому же, насколько я понимаю, здесь уточнение про ноль несущественно, поскольку индеск $j$ меняется от $1$ до $i+1$.

[Leox]

$$ c(i,j)=\min(i{-}j+2,j), j \leqslant i+1 $$

[Gafield]

1) заметить, что для ряда

$$ \frac1{( 1- t )(1-ty^3) (1-t^2y^3)}= \sum_{i=0}^{\infty} t^i\sum_{j=0}^{\infty} c(i,j) y^{3j} $$

коэффициенты $c(i,j)=0$ при $j>i$,
2) показать, что $c(j,j-i)=c(j)$
3) заметить, что

$$ \sum_{i=0}^\infty t^i\sum_{j=0}^i (j+1)y^{3j}=\frac{1}{(1-t) \left(1-t y^3\right)^2}, и $$

$$\frac1{( 1- t )(1-ty^3) (1-t^2y^3)}-\frac{1}{(1-t) \left(1-t y^3\right)^2}= \frac{t y^3}{\left(1-t y^3\right)^2 \left(1-t^2 y^3\right)}.$$

4) коэффициенты при $t^i y^j$ в разложении последней функции равны нулю при $j<3i/2$, так что $c(i,j)-(j+1)$ в этом случае равно нулю.

[Leox]

Gafield в сообщении #273347 писал(а):

1) заметить, что для ряда

$$ \frac1{( 1- t )(1-ty^3) (1-t^2y^3)}= \sum_{i=0}^{\infty} t^i\sum_{j=0}^{\infty} c(i,j) y^{3j} $$

коэффициенты $c(i,j)=0$ при $j>i$,
2) показать, что $c(j,j-i)=c(j)$
3) заметить, что

$$ \sum_{i=0}^\infty t^i\sum_{j=0}^i (j+1)y^{3j}=\frac{1}{(1-t) \left(1-t y^3\right)^2}, и $$

$$\frac1{( 1- t )(1-ty^3) (1-t^2y^3)}-\frac{1}{(1-t) \left(1-t y^3\right)^2}= \frac{t y^3}{\left(1-t y^3\right)^2 \left(1-t^2 y^3\right)}.$$

4) коэффициенты при $t^i y^j$ в разложении последней функции равны нулю при $j<3i/2$, так что $c(i,j)-(j+1)$ в этом случае равно нулю.

Большое спасибо, хорошее доказательство.
У меня ето тождество получилось как побочньій продукт одной теории, поетому хотелось иметь и прямое доказательство.
Еще раз спасибо всем.